Mathe Solutions

439a – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} s^2 - st & = & 20 \\ t^2 - st & = & -5 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s^2 - st & = & 20 \\ t^2 - st & = & -5 \end{array} \right| \begin{array}{c} (*) \\ ~ \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t) & = & 20 \\ t(t-s) & = & -5 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \cdot(-1) \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t) & = & 20 \\ t(s-t) & = & 5 \end{array} \right| \end{align*}$

Die Gleichung (1) durch die Gleichung (2) teilen:

$\begin{eqnarray*} \frac{s}{t} & = & 4 \\ s & = & 4t ~~~(**) \end{eqnarray*}$

in (*) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 16t^2-4t^2 & = & 20 \\ 12t^2 & = & 20 \\ t^2 & = & \frac{5}{3} \\ t_{1,2} & = & \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$

in (**) einsetzen:

$\begin{equation*} s_{1,2} = \pm 4\sqrt{\frac{5}{3}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(4\sqrt{\frac{5}{3}},\sqrt{\frac{5}{3}}\right),\left(-4\sqrt{\frac{5}{3}},-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\right\} \end{equation*}$

438a – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} 2x^2+xy-3y^2 & = & x + 12 \\ x^2-4xy+4y^2 & = & 0 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} 2x^2+xy-3y^2 & = & x + 12 \\ x^2-4xy+4y^2 & = & 0 \end{array} \right| \end{align*}$

Die linke Seite der Gleichung (2) lässt sich mit Hilfe der 2. binomischen Formel faktorisieren:

$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2 & = & 0 ~~~~\mid \sqrt{\cdot} \\ x-2y & = & 0 \\ x & = & 2y ~~~(*) \end{eqnarray*}$

in (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4y^2+2y^2-3y^2 & = & 2y+12 \\ 7y^2-2y-12 & = & 0 \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm\sqrt{4+336}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm\sqrt{340}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm2\sqrt{85}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{1\pm\sqrt{85}}{7} \end{eqnarray*}$

in (*):

$\begin{equation*} x_{1,2} = \frac{2\pm2\sqrt{85}}{7} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(\frac{2+2\sqrt{85}}{7},\frac{1+\sqrt{85}}{7}\right),\left(\frac{2-2\sqrt{85}}{7},\frac{1-\sqrt{85}}{7}\right)\right\} \end{equation*}$

435c – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} \sqrt{a-5} + \sqrt{b+2} & = & 5 \\ \sqrt{a+b} & = & 4 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} \sqrt{a-5} + \sqrt{b+2} & = & 5 \\ \sqrt{a+b} & = & 4 \end{array} \right| \begin{array}{c} ^{\wedge}2 \\ ^{\wedge}2 \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} a-5 + 2\sqrt{(a-5)(b+2)} + b + 2 & = & 25 \\ a + b & = & 16 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (*) \end{array} \end{align*}$

(2) in (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 16 - 5 + 2\sqrt{(a-5)(b+2)} + 2 & = & 25 \\ 2\sqrt{(a-5)(b+2)} & = & 12 \\ \sqrt{(a-5)(b+2)} & = & 6 ~~~\mid ~^{\wedge}2 \\ (a-5)(b+2) & = & 36 \end{eqnarray*}$

Zusammen mit (*) ergibt das

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} (a-5)(b+2) & = & 36 \\ a + b & = & 16 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (**) \end{array} \end{align*}$

Einsetzmethode: (2) nach $a$ auflösen und in (1) einsetzen

$\begin{eqnarray*} (16-b-5)(b+2) & = & 36 \\ (11-b)(b+2) & = & 36 \\ 11b+22-b^2-2b & = & 36 \\ b^2-9b+14 & = & 0 \\ (b-2)(b-7) & = & 0 \\ b_1 & = & 2 \\ b_2 & = & 7 \end{eqnarray*}$

in (**) einsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} a_1 & = & 14 \\ a_2 & = & 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(14,2\right),\left(9,7\right)\right\} \end{equation*}$

434e – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} s^2-st-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s^2-st-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (*) \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t)-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

(2) in (1):

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s\cdot 7 - t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

Einsetzmethode: (2) nach $s$ auflösen und in (1) einsetzen

$\begin{eqnarray*} (7+t)\cdot 7 - t^2 & = & 19 \\ 49 + 7t - t^2 - 19 & = & 0 \\ t^2 - 7t - 30 & = & 0 \\ t_{1,2} & = & \frac{7\pm\sqrt{49+120}}{2} \\ t_1 & = & \frac{7+13}{2} = 10 \\ t_2 & = & \frac{7-13}{2} = -3 \end{eqnarray*}$

in (*):

$\begin{eqnarray*} s_1 & = & 17 \\ s_2 & = & 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(17,10\right),\left(4,-3\right)\right\} \end{equation*}$

Gerade und ungerade Funktionen

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für eine gerade Funktion gilt $\mathcolor{red}{f(x)=f(-x)}$ und für eine ungerade Funktion gilt $\mathcolor{blue}{f(x)=-f(-x)}$ , was aus den Graphen unten ersichtlich ist.

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Werden zwei oder mehr gerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls gerade:

$\begin{equation*} \mathcolor{red}{f(x)} = \mathcolor{red}{y} = \mathcolor{red}{y_1} + \mathcolor{red}{y_2} + ... + \mathcolor{red}{y_n} \end{equation*}$

Werden zwei oder mehr ungerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls ungerade:

$\begin{equation*} \mathcolor{blue}{f(x)} = \mathcolor{blue}{y} = \mathcolor{blue}{y_1} + \mathcolor{blue}{y_2} + ... + \mathcolor{blue}{y_n} \end{equation*}$

Werden allerdings gerade und ungerade Funktionen addiert, ist die resultierende Funktion weder gerade noch ungerade.

Anwendung auf Polynomfunktionen

Die Grundform einer Polynomfunktion n-ten Grades sieht folgendermassen aus:

$\begin{equation*} f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \end{equation*}$

Jeder Summand $a_i x^i$ für $0\leq i \leq n$ ist eine Potenzfunktion $f_i(x) = a_i x^i$ . Die Polynomfunktion ist also eine Summe von Potenzfunktionen.

$\begin{equation*} f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = \sum_{i=0}^n f_i(x) \end{equation*}$

Ist der Exponent $i$ gerade, so ist die Potenzfunktion $f_i(x) = a_i x^i$ gerade, also $f_i(x) = f_i(-x)$ . Ist der Exponent ungerade, so ist die Potenzfunktion ungerade.
Für $f_i(x) = y_i$ können wir also die Polynomfunktion als Summe von geraden und ungeraden Potenzfunktionen aufschreiben:

$\begin{equation*} f(x) = y = \sum_{i=0}^n f_i(x) = \sum_{i=0}^n y_i \end{equation*}$

Tauchen in der Summe nur gerade Potenzfunktionen auf, wird die resultierende Polynomfunktion gerade sein. Werden lauter ungerader Potenzfunktionen aufsummiert, ist die resultierende Polynomfunktion ebenfalls ungerade.

Zusammengefasst kann gesagt werden, dass eine Polynomfunktion gerade ist, wenn die Exponenten in den einzelnen Summanden alle gerade sind. Sind alle Exponenten ungerade, wird die Polynomfunktion ebenfalls ungerade sein.

Zum Abschluss sei hier vermerkt, dass die Zahl 0 gerade ist.

Die Wurzel ziehen beim Lösen einer Gleichung

Die Wurzel einer Zahl ist per Definition positiv. Zieht man die Wurzel von 25, ist das Resultat also 5, obwohl (-5) im Quadrat ebenfalls 25 ergibt. Allgemein lässt sich das so aufschreiben:

$\begin{equation*} \sqrt{x^2}=\left|x\right| \end{equation*}$

Die Gleichung $x^2=16$ lässt sich durch das Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 16 \mid \sqrt{\cdot} \\ \sqrt{x^2} & = & \sqrt{16} \\ \left|x\right| & = & 4 \end{eqnarray*}$

Bei der letzten Gleichung haben wir es mit einer Betragsgleichung zu tun. Betragsgleichungen können wir durch Fallunterscheidung lösen:
Fall 1: $x\geq 0$

$\begin{equation*} x_1 = 4 \end{equation*}$

Fall 2: $x<0$

$\begin{eqnarray*} -x & = & 4 \\ x_2 & = & -4 \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-4, 4\right\}$ . D. h., die negative Lösung muss berücksichtigt werden, denn sie erfüllt wie die positive Lösung die Gleichung.
Zusammengefasst kann gesagt werden, dass beim Ziehen der Wurzel links und rechts einer Gleichung sowohl die positive als auch die negative Lösung angegeben werden müssen:

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 16 \mid \sqrt{\cdot} \\ x_{1,2} & = & \pm 4 \end{eqnarray*}$

Dreiecksberechnungen

Für die Rechnungskontrolle in Dreiecksberechnungen empfiehlt sich die folgende Seite:

www.mathepedia.de/Dreiecksberechnung.aspx

Es werden nicht nur die Werte ausgegeben sondern auch Lösungshinweise in einem Berechnungsprotokoll.

326c – FW Algebra

$\begin{equation*} \frac{3x+4}{x-5}-\frac{x-9}{x-7}=\frac{2x^2-13x+27}{x^2-12x+35} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{(3x+4)(x-7)-(x-9)(x-5)}{(x-5)(x-7)} & = & \frac{2x^2-13x+27}{(x-5)(x-7)} \\ 3x^2-21x+4x-28-\left(x^2-5x-9x+45\right) & = & 2x^2-13x+27 \\ 2x^2-3x-73 & = & 2x^2-13x+27 \\ 10x & = & 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \underline{\underline{x=10}} \end{equation*}$

Potenzen mit beliebigen rationalen Exponenten

Für $a\in \mathbb{R}^+$ und $n\in \mathbb{N}$ mit $n>1$ versteht man unter der Potenz $a^n$ die Multiplikation von $a$ $n$ -mal mit sich selbst, also

$\begin{equation*} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{~Faktoren}} \end{equation*}$

$a$ ist die Basis, $n$ ist der Exponent der Potenz $a^n$ .

Die Potenzgesetze

Das folgende Beispiel zeigt die Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis:

$\begin{equation*} a^3\cdot a^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3+2}=a^5 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel erkennt man ein erstes Potenzgesetz

(1) $\begin{equation*} a^m\cdot a^n=a^{m+n} \end{equation*}$

Im nächsten Beispiel berechnen wir die Potenz einer Potenz:

$\begin{equation*} \left(a^3\right)^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3\cdot 2}=a^6 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel ist ein zweites Potenzgesetz ersichtlich

(2) $\begin{equation*} \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \end{equation*}$

Bedeutung für $n=1$

Es stellt sich zunächst die Frage, was $a^1$ bedeuten soll, da für eine Multiplikation mindestens zwei Faktoren benötigt werden. Wir gehen vom Potenzgesetz (1) aus, der auch für den Exponenten $n=1$ gelten soll:

$\begin{equation*} a^1\cdot a^1=a^{1+1}=a^2=a\cdot a \end{equation*}$

Daraus schliessen wir, dass $a^1=a$ sein muss.

Bedeutung für $n=0$

Für den Exponenten $n=0$ soll das Potenzgesetz (1) auch gültig sein, so dass wir folgende Termumformungen vornehmen können.

$\begin{equation*} a^0\cdot a=a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a \end{equation*}$

Daraus folgt, dass $a^0=1$ sein muss.

Bedeutung für $-n$

Es sei $n\in \mathbb{N}$ . Wie soll man eine Potenz mit negativem Exponenten deuten, also $a^{-n}$ ? Nun, auch hier soll das Potenzgesetz (1) gültig sein, was auf folgende Umformungen führt:

$\begin{equation*} a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1 \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $a^{-n}\cdot a^n=1$ nach $a^{-n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch $a^n$ teilt, erhält man

$\begin{equation*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{equation*}$

was auf $a^{-n}=1/a^n$ führt.

Bedeutung für $1/n$

Nun soll der Exponent eine rationale Zahl sein. Das Potenzgesetz (2) soll auch für die Potenz $a^{1/n}$ gelten:

$\begin{equation*} \left(a^{1/n}\right)^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $\left(a^{1/n}\right)^n=a$ nach $a^{1/n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die $n$ -te Wurzel zieht, erhält man die Deutung

$\begin{equation*} a^{1/n}=\sqrt[n]{a} \end{equation*}$

Potenz für beliebige rationale Exponenten

Als allgemeinen Fall für beliebige rationale Exponenten nehmen wir die Potenz $a^{m/n}$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ , $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \mathbb{Z}$ . Hier soll wieder das Potenzgesetz (2) gelten.

$\begin{equation*} a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m \end{equation*}$

Das führt zu $a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m$ .

Schwierigkeit mit $0^0$

Geht man von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 0^1, & 0^{1/2}, & 0^{1/3}, & 0^{1/4}, & 0^{1/5}, & 0^{1/6}, & 0^{1/7}, & \cdots \\ 0, & \sqrt{0}, & \sqrt[3]{0}, & \sqrt[4]{0}, & \sqrt[5]{0}, & \sqrt[6]{0}, & \sqrt[7]{0}, & \cdots \\ 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, würde man $0^0=0$ definieren.
Geht man allerdings von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 1^0, & \left({1/2}\right)^0, & \left({1/3}\right)^0, & \left({1/4}\right)^0, & \left({1/5}\right)^0, & \left({1/6}\right)^0, & \cdots \\ 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, ergibt sich die Definition $0^0=1$ .

Negative Basis

Es soll zum Abschluss der Fall $\left(-1\right)^2=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)$ behandelt werden. Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} \left(10-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(10+\left(-1\right)\right)^2 & = & 81 \\ 10^2+2\cdot10\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ 80+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(-1\right)^2 & = & 1 \end{eqnarray*}$

Es folgt also, dass $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ ist. Damit ist die Frage beantwortet, wieso «Minus mal Minus» «Plus» ergibt.

581a – FW Algebra

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $P$ , der folgende Bedingungen erfüllt:

$P$ liegt auf der Verbindungsstrecke $\overline{AB}$ ,
$\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$

$\begin{equation*} A\!\left(-1/9.5\right) ; B\!\left(-1/2\right) \end{equation*}$

Lösung

Zunächst können wir feststellen, dass im Beispiel $\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$ der Punkt $P$ näher bei $A$ als bei $B$ liegt. Weiter können wir aus den Strahlensätzen (siehe Figur unten) sagen, dass $\left|x_P-x_A\right|:\left|x_B-x_P\right|=2:3$ und $\left|y_P-y_A\right|:\left|y_B-y_P\right|=2:3$ .

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Die Koordinaten des Punktes $P$ lassen sich als gewichtete Mittelwerte der Koordinaten von $A$ und $B$ berechnen, wobei die Gewichtung eines gegebenen Punktes um so grösser ist, je näher $P$ bei diesem Punkt liegt. Für unser Beispiel gilt also

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3x_A+2x_B}{5} \\ y_P & = & \frac{3y_A+2y_B}{5} \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt für $\overline{AP}:\overline{BP}=n:m$

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{m\cdot x_A+n\cdot x_B}{n+m} \\ y_P & = & \frac{m\cdot y_A+n\cdot y_B}{n+m} \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe 581a ergeben sich folgende Koordinaten für den Punkt $P$ :

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3\cdot (-1)+2\cdot (-1)}{5} = -1 \\ y_P & = & \frac{3\cdot 9.5+2\cdot 2}{5} = 6.5 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $P\!\left(-1/6.5\right)$ teilt also die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $2:3$ , was mit den speziellen Werten dieses Beispiels auch einfacher hätte berechnet werden können.