Gerade und ungerade Funktionen

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für eine gerade Funktion gilt \mathcolor{red}{f(x)=f(-x)} und für eine ungerade Funktion gilt \mathcolor{blue}{f(x)=-f(-x)}, was aus den Graphen unten ersichtlich ist.

Rendered by QuickLaTeX.com

Werden zwei oder mehr gerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls gerade:

    \begin{equation*} \mathcolor{red}{f(x)} = \mathcolor{red}{y} = \mathcolor{red}{y_1} + \mathcolor{red}{y_2} + ... + \mathcolor{red}{y_n} \end{equation*}

Werden zwei oder mehr ungerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls ungerade:

    \begin{equation*} \mathcolor{blue}{f(x)} = \mathcolor{blue}{y} = \mathcolor{blue}{y_1} + \mathcolor{blue}{y_2} + ... + \mathcolor{blue}{y_n} \end{equation*}

Werden allerdings gerade und ungerade Funktionen addiert, ist die resultierende Funktion weder gerade noch ungerade.

Anwendung auf Polynomfunktionen


Die Grundform einer Polynomfunktion n-ten Grades sieht folgendermassen aus:

    \begin{equation*} f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \end{equation*}

Jeder Summand a_i x^i für 0\leq i \leq n ist eine Potenzfunktion f_i(x) = a_i x^i. Die Polynomfunktion ist also eine Summe von Potenzfunktionen.

    \begin{equation*} f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = \sum_{i=0}^n f_i(x) \end{equation*}

Ist der Exponent i gerade, so ist die Potenzfunktion f_i(x) = a_i x^i gerade, also f_i(x) = f_i(-x). Ist der Exponent ungerade, so ist die Potenzfunktion ungerade.
Für f_i(x) = y_i können wir also die Polynomfunktion als Summe von geraden und ungeraden Potenzfunktionen aufschreiben:

    \begin{equation*} f(x) = y = \sum_{i=0}^n f_i(x) = \sum_{i=0}^n y_i \end{equation*}

Tauchen in der Summe nur gerade Potenzfunktionen auf, wird die resultierende Polynomfunktion gerade sein. Werden lauter ungerader Potenzfunktionen aufsummiert, ist die resultierende Polynomfunktion ebenfalls ungerade.

Zusammengefasst kann gesagt werden, dass eine Polynomfunktion gerade ist, wenn die Exponenten in den einzelnen Summanden alle gerade sind. Sind alle Exponenten ungerade, wird die Polynomfunktion ebenfalls ungerade sein.

Zum Abschluss sei hier vermerkt, dass die Zahl 0 gerade ist.

Schreiben Sie einen Kommentar

Ihre E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahren Sie mehr darüber, wie Ihre Kommentardaten verarbeitet werden .