827b – FW Algebra

Für welche Werte des Parameters k hat die folgende Gleichung mindestens eine Lösung?

    \begin{equation*} 3^x=k\cdot x \end{equation*}

Lösung

Für Geraden mit negativer Steigung (also für k<0) ist die Bedingung erfüllt, dass sich die Gerade (rechte Seite des Gleichheitszeichens) und die Exponentialfunktion (linke Seite des Gleichheitszeichens) schneiden. Nachfolgend wird der Fall diskutiert, wie gross die positive Steigung k sein muss, damit die Ursprungsgerade y=k\cdot x tangential zur Exponentialfunktion 3^x liegt.

Es wird folgendes Wissen aus der Analysis vorausgesetzt: die Tangente an die Exponentialfunktion y=3^x hat an jeder Stelle x die Steigung

    \begin{equation*} a = \frac{\partial}{\partial x}(3^x) = 3^x \cdot \ln(3) \end{equation*}

was aus \frac{\partial}{\partial x}(e^x)=e^x und der folgenden Umformung folgt

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(3^x) & = & \frac{\partial}{\partial x}\left(\left[ e^{\ln\left(3\right)}\right]^x\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\ln\left(3\right)\cdot x}\right) \\  & = & e^{\ln\left(3\right)\cdot x}\cdot \ln(3) \\  & = & 3^x\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}

Die Tangente an die Exponentialfunktion y=3^x hat also folgende Gleichung:

    \begin{eqnarray*} y & = & a\cdot x + b \\   & = & 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x + b \end{eqnarray*}

wobei x_B die x-Koordinate des Berührungspunktes ist.
Wir wissen, dass im Berührungspunkt der Funktionswert der Tangente an der Stelle x_B gleich dem Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle x_B ist, also

    \begin{eqnarray*} 3^{x_B} & = & a\cdot x_B + b \\         & = & 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B + b \end{eqnarray*}

Wir möchten, dass die Tangente durch den Ursprung geht, also wird b=0 sein, was zu folgender Gleichung führt:

    \begin{equation*} 3^{x_B} = 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B + 0 \end{equation*}

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen:

    \begin{equation*} 1 = \ln(3) \cdot x_B \end{equation*}

Der Berührungspunkt der Tangente durch den Ursprung mit der Exponentialfunktion hat demzufolge die x-Koordinate

    \begin{equation*} x_B = \frac{1}{\ln(3)} \end{equation*}

Die gesuchte Steigung k ergibt sich aus dem Verhältnis der y-Koordinate zur x-Koordinate des Berührungspunktes:

    \begin{eqnarray*} k & = & \frac{y_B}{x_B} \\   & = & \frac{3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B}{x_B} \\   & = & 3^{\frac{1}{\ln(3)}} \cdot \ln(3) \\   & = & e^{\ln\left(3\right)\cdot \frac{1}{\ln(3)}} \cdot \ln(3) \\   & = & e \cdot \ln(3) \approx 2.9863378208084 \end{eqnarray*}

Die Gleichung aus der Aufgabenstellung hat für folgende k mindestens eine Lösung:

    \begin{eqnarray*}  k<0 & \vee & e \cdot \ln(3) \leq k \end{eqnarray*}

Lösungsvariante ohne Analysis

Nachfolgend wird ohne Zuhilfenahme der Analysis das kleinstmögliche, positive k ermittelt, wofür die Gleichung aus der Aufgabenstellung mindestens eine Lösung hat.

Zunächst wird links und rechts der Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus logarithmiert:

    \begin{eqnarray*}  3^x           & = & k\cdot x \\  \ln(3^x)      & = & \ln(k\cdot x) \\  x\cdot \ln(3) & = & \ln(k)+\ln(x) \end{eqnarray*}

Die linke Seite der obigen Gleichung kann als Ursprungsgerade mit der Steigung \ln(3) interpretiert werden. Die rechte Seite der Gleichung ist die um die Konstante c=\ln(k) in y-Richtung verschobene Logarithmusfunktion \ln(x). Ist der Wert von c=\ln(k) zu klein, werden sich die zwei Funktionen f(x)=\ln(3)\cdot x und g(x)=\ln(k)+\ln(x) nicht schneiden. Ist der Wert von c=\ln(k) zu gross, wird es zwei Schnittpunkte geben. Gesucht ist der kleinstmögliche Wert für k, so dass sich f(x) und g(x) gerade noch berühren.
Eine Animation kann unter dem folgenden Link geöffnet werden: GeoGebra Animation
Aus dem Graphen kann vermutet werden, dass im Berührungspunkt, d. h. beim Zusammenfallen der zwei Schnittpunkte, dessen y-Koordinate 1 beträgt. Es würde also f(x_B)=y_B=1 gelten und somit

    \begin{eqnarray*}  \ln(3) \cdot x_B & = & 1 \\  x_B              & = & \frac{1}{\ln(3)} \end{eqnarray*}

Damit ist die Aufgabe gelöst, denn dann gilt

    \begin{eqnarray*}  x_B\cdot \ln(3)    & = & \ln(k)+\ln(x_B) \\  1                  & = & \ln(k)+\ln\left(\frac{1}{\ln(3)}\right) \\  \ln(e)+\ln(\ln(3)) & = & \ln(k) \\  \ln(k)             & = & \ln(e\cdot \ln(3)) \\  k                  & = & e\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}

Das ist das Resultat, das wir oben schon erhalten haben.

Lösungsvariante mit dem Taschenrechner TI-Nspire

Mein Lehrerkollege M. B. hat mich auf folgende Lösungsidee aufmerksam gemacht:
Die gegebene Gleichung kann nach k aufgelöst werden:

    \begin{eqnarray*}  3^x           & = & k\cdot x \\  \frac{3^x}{x} & = & k \end{eqnarray*}

Gesucht ist das k, so dass sich die Funktionen h(x)=\frac{3^x}{x} und p(x)=k schneiden oder berühren. Das kleinstmögliche, positive k liegt auf der Höhe der Tangente am lokalen Minimum der Funktion h(x). Die nachfolgende Figur zeigt die numerische Lösung, die mit dem Taschenrechner TI-Nspire ermittelt werden kann.

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