Funktionen – Mathe Solutions

827b – FW Algebra

Für welche Werte des Parameters $k$ hat die folgende Gleichung mindestens eine Lösung?

$\begin{equation*} 3^x=k\cdot x \end{equation*}$

Lösung

Für Geraden mit negativer Steigung (also für $k<0$ ) ist die Bedingung erfüllt, dass sich die Gerade (rechte Seite des Gleichheitszeichens) und die Exponentialfunktion (linke Seite des Gleichheitszeichens) schneiden. Nachfolgend wird der Fall diskutiert, wie gross die positive Steigung $k$ sein muss, damit die Ursprungsgerade $y=k\cdot x$ tangential zur Exponentialfunktion $3^x$ liegt.

Es wird folgendes Wissen aus der Analysis vorausgesetzt: die Tangente an die Exponentialfunktion $y=3^x$ hat an jeder Stelle $x$ die Steigung

$\begin{equation*} a = \frac{\partial}{\partial x}(3^x) = 3^x \cdot \ln(3) \end{equation*}$

was aus $\frac{\partial}{\partial x}(e^x)=e^x$ und der folgenden Umformung folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(3^x) & = & \frac{\partial}{\partial x}\left(\left[ e^{\ln\left(3\right)}\right]^x\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\ln\left(3\right)\cdot x}\right) \\ & = & e^{\ln\left(3\right)\cdot x}\cdot \ln(3) \\ & = & 3^x\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}$

Die Tangente an die Exponentialfunktion $y=3^x$ hat also folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y & = & a\cdot x + b \\ & = & 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x + b \end{eqnarray*}$

wobei $x_B$ die $x$ -Koordinate des Berührungspunktes ist.
Wir wissen, dass im Berührungspunkt der Funktionswert der Tangente an der Stelle $x_B$ gleich dem Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle $x_B$ ist, also

$\begin{eqnarray*} 3^{x_B} & = & a\cdot x_B + b \\ & = & 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B + b \end{eqnarray*}$

Wir möchten, dass die Tangente durch den Ursprung geht, also wird $b=0$ sein, was zu folgender Gleichung führt:

$\begin{equation*} 3^{x_B} = 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B + 0 \end{equation*}$

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen:

$\begin{equation*} 1 = \ln(3) \cdot x_B \end{equation*}$

Der Berührungspunkt der Tangente durch den Ursprung mit der Exponentialfunktion hat demzufolge die $x$ -Koordinate

$\begin{equation*} x_B = \frac{1}{\ln(3)} \end{equation*}$

Die gesuchte Steigung $k$ ergibt sich aus dem Verhältnis der $y$ -Koordinate zur $x$ -Koordinate des Berührungspunktes:

$\begin{eqnarray*} k & = & \frac{y_B}{x_B} \\ & = & \frac{3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B}{x_B} \\ & = & 3^{\frac{1}{\ln(3)}} \cdot \ln(3) \\ & = & e^{\ln\left(3\right)\cdot \frac{1}{\ln(3)}} \cdot \ln(3) \\ & = & e \cdot \ln(3) \approx 2.9863378208084 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung aus der Aufgabenstellung hat für folgende $k$ mindestens eine Lösung:

$\begin{eqnarray*} k<0 & \vee & e \cdot \ln(3) \leq k \end{eqnarray*}$

Lösungsvariante ohne Analysis

Nachfolgend wird ohne Zuhilfenahme der Analysis das kleinstmögliche, positive $k$ ermittelt, wofür die Gleichung aus der Aufgabenstellung mindestens eine Lösung hat.

Zunächst wird links und rechts der Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus logarithmiert:

$\begin{eqnarray*} 3^x & = & k\cdot x \\ \ln(3^x) & = & \ln(k\cdot x) \\ x\cdot \ln(3) & = & \ln(k)+\ln(x) \end{eqnarray*}$

Die linke Seite der obigen Gleichung kann als Ursprungsgerade mit der Steigung $\ln(3)$ interpretiert werden. Die rechte Seite der Gleichung ist die um die Konstante $c=\ln(k)$ in $y$ -Richtung verschobene Logarithmusfunktion $\ln(x)$ . Ist der Wert von $c=\ln(k)$ zu klein, werden sich die zwei Funktionen $f(x)=\ln(3)\cdot x$ und $g(x)=\ln(k)+\ln(x)$ nicht schneiden. Ist der Wert von $c=\ln(k)$ zu gross, wird es zwei Schnittpunkte geben. Gesucht ist der kleinstmögliche Wert für $k$ , so dass sich $f(x)$ und $g(x)$ gerade noch berühren.
Eine Animation kann unter dem folgenden Link geöffnet werden: GeoGebra Animation
Aus dem Graphen kann vermutet werden, dass im Berührungspunkt, d. h. beim Zusammenfallen der zwei Schnittpunkte, dessen $y$ -Koordinate 1 beträgt. Es würde also $f(x_B)=y_B=1$ gelten und somit

$\begin{eqnarray*} \ln(3) \cdot x_B & = & 1 \\ x_B & = & \frac{1}{\ln(3)} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Aufgabe gelöst, denn dann gilt

$\begin{eqnarray*} x_B\cdot \ln(3) & = & \ln(k)+\ln(x_B) \\ 1 & = & \ln(k)+\ln\left(\frac{1}{\ln(3)}\right) \\ \ln(e)+\ln(\ln(3)) & = & \ln(k) \\ \ln(k) & = & \ln(e\cdot \ln(3)) \\ k & = & e\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}$

Das ist das Resultat, das wir oben schon erhalten haben.

Lösungsvariante mit dem Taschenrechner TI-Nspire

Mein Lehrerkollege M. B. hat mich auf folgende Lösungsidee aufmerksam gemacht:
Die gegebene Gleichung kann nach $k$ aufgelöst werden:

$\begin{eqnarray*} 3^x & = & k\cdot x \\ \frac{3^x}{x} & = & k \end{eqnarray*}$

Gesucht ist das $k$ , so dass sich die Funktionen $h(x)=\frac{3^x}{x}$ und $p(x)=k$ schneiden oder berühren. Das kleinstmögliche, positive $k$ liegt auf der Höhe der Tangente am lokalen Minimum der Funktion $h(x)$ . Die nachfolgende Figur zeigt die numerische Lösung, die mit dem Taschenrechner TI-Nspire ermittelt werden kann.

Funktionsgraphen – ganz leicht

Gerade und ungerade Funktionen

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für eine gerade Funktion gilt $\mathcolor{red}{f(x)=f(-x)}$ und für eine ungerade Funktion gilt $\mathcolor{blue}{f(x)=-f(-x)}$ , was aus den Graphen unten ersichtlich ist.

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Werden zwei oder mehr gerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls gerade:

$\begin{equation*} \mathcolor{red}{f(x)} = \mathcolor{red}{y} = \mathcolor{red}{y_1} + \mathcolor{red}{y_2} + ... + \mathcolor{red}{y_n} \end{equation*}$

Werden zwei oder mehr ungerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls ungerade:

$\begin{equation*} \mathcolor{blue}{f(x)} = \mathcolor{blue}{y} = \mathcolor{blue}{y_1} + \mathcolor{blue}{y_2} + ... + \mathcolor{blue}{y_n} \end{equation*}$

Werden allerdings gerade und ungerade Funktionen addiert, ist die resultierende Funktion weder gerade noch ungerade.

Anwendung auf Polynomfunktionen

Die Grundform einer Polynomfunktion n-ten Grades sieht folgendermassen aus:

$\begin{equation*} f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \end{equation*}$

Jeder Summand $a_i x^i$ für $0\leq i \leq n$ ist eine Potenzfunktion $f_i(x) = a_i x^i$ . Die Polynomfunktion ist also eine Summe von Potenzfunktionen.

$\begin{equation*} f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = \sum_{i=0}^n f_i(x) \end{equation*}$

Ist der Exponent $i$ gerade, so ist die Potenzfunktion $f_i(x) = a_i x^i$ gerade, also $f_i(x) = f_i(-x)$ . Ist der Exponent ungerade, so ist die Potenzfunktion ungerade.
Für $f_i(x) = y_i$ können wir also die Polynomfunktion als Summe von geraden und ungeraden Potenzfunktionen aufschreiben:

$\begin{equation*} f(x) = y = \sum_{i=0}^n f_i(x) = \sum_{i=0}^n y_i \end{equation*}$

Tauchen in der Summe nur gerade Potenzfunktionen auf, wird die resultierende Polynomfunktion gerade sein. Werden lauter ungerader Potenzfunktionen aufsummiert, ist die resultierende Polynomfunktion ebenfalls ungerade.

Zusammengefasst kann gesagt werden, dass eine Polynomfunktion gerade ist, wenn die Exponenten in den einzelnen Summanden alle gerade sind. Sind alle Exponenten ungerade, wird die Polynomfunktion ebenfalls ungerade sein.

Zum Abschluss sei hier vermerkt, dass die Zahl 0 gerade ist.

581a – FW Algebra

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $P$ , der folgende Bedingungen erfüllt:

$P$ liegt auf der Verbindungsstrecke $\overline{AB}$ ,
$\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$

$\begin{equation*} A\!\left(-1/9.5\right) ; B\!\left(-1/2\right) \end{equation*}$

Lösung

Zunächst können wir feststellen, dass im Beispiel $\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$ der Punkt $P$ näher bei $A$ als bei $B$ liegt. Weiter können wir aus den Strahlensätzen (siehe Figur unten) sagen, dass $\left|x_P-x_A\right|:\left|x_B-x_P\right|=2:3$ und $\left|y_P-y_A\right|:\left|y_B-y_P\right|=2:3$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Die Koordinaten des Punktes $P$ lassen sich als gewichtete Mittelwerte der Koordinaten von $A$ und $B$ berechnen, wobei die Gewichtung eines gegebenen Punktes um so grösser ist, je näher $P$ bei diesem Punkt liegt. Für unser Beispiel gilt also

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3x_A+2x_B}{5} \\ y_P & = & \frac{3y_A+2y_B}{5} \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt für $\overline{AP}:\overline{BP}=n:m$

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{m\cdot x_A+n\cdot x_B}{n+m} \\ y_P & = & \frac{m\cdot y_A+n\cdot y_B}{n+m} \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe 581a ergeben sich folgende Koordinaten für den Punkt $P$ :

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3\cdot (-1)+2\cdot (-1)}{5} = -1 \\ y_P & = & \frac{3\cdot 9.5+2\cdot 2}{5} = 6.5 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $P\!\left(-1/6.5\right)$ teilt also die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $2:3$ , was mit den speziellen Werten dieses Beispiels auch einfacher hätte berechnet werden können.