581a – FW Algebra

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P, der folgende Bedingungen erfüllt:

  • P liegt auf der Verbindungsstrecke \overline{AB},
  • \overline{AP}:\overline{BP}=2:3

    \begin{equation*} A\!\left(-1/9.5\right) ; B\!\left(-1/2\right) \end{equation*}

Lösung

Zunächst können wir feststellen, dass im Beispiel \overline{AP}:\overline{BP}=2:3 der Punkt P näher bei A als bei B liegt. Weiter können wir aus den Strahlensätzen (siehe Figur unten) sagen, dass \left|x_P-x_A\right|:\left|x_B-x_P\right|=2:3 und \left|y_P-y_A\right|:\left|y_B-y_P\right|=2:3.

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Die Koordinaten des Punktes P lassen sich als gewichtete Mittelwerte der Koordinaten von A und B berechnen, wobei die Gewichtung eines gegebenen Punktes um so grösser ist, je näher P bei diesem Punkt liegt. Für unser Beispiel gilt also

    \begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3x_A+2x_B}{5} \\ y_P & = & \frac{3y_A+2y_B}{5} \end{eqnarray*}

Allgemein gilt für \overline{AP}:\overline{BP}=n:m

    \begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{m\cdot x_A+n\cdot x_B}{n+m} \\ y_P & = & \frac{m\cdot y_A+n\cdot y_B}{n+m} \end{eqnarray*}

Für die Aufgabe 581a ergeben sich folgende Koordinaten für den Punkt P:

    \begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3\cdot (-1)+2\cdot (-1)}{5} = -1 \\ y_P & = & \frac{3\cdot 9.5+2\cdot 2}{5} = 6.5 \end{eqnarray*}

Der Punkt P\!\left(-1/6.5\right) teilt also die Strecke \overline{AB} im Verhältnis 2:3, was mit den speziellen Werten dieses Beispiels auch einfacher hätte berechnet werden können.

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