581a – FW Algebra – Mathe Solutions

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $P$ , der folgende Bedingungen erfüllt:

$P$ liegt auf der Verbindungsstrecke $\overline{AB}$ ,
$\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$

$\begin{equation*} A\!\left(-1/9.5\right) ; B\!\left(-1/2\right) \end{equation*}$

Lösung

Zunächst können wir feststellen, dass im Beispiel $\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$ der Punkt $P$ näher bei $A$ als bei $B$ liegt. Weiter können wir aus den Strahlensätzen (siehe Figur unten) sagen, dass $\left|x_P-x_A\right|:\left|x_B-x_P\right|=2:3$ und $\left|y_P-y_A\right|:\left|y_B-y_P\right|=2:3$ .

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Die Koordinaten des Punktes $P$ lassen sich als gewichtete Mittelwerte der Koordinaten von $A$ und $B$ berechnen, wobei die Gewichtung eines gegebenen Punktes um so grösser ist, je näher $P$ bei diesem Punkt liegt. Für unser Beispiel gilt also

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3x_A+2x_B}{5} \\ y_P & = & \frac{3y_A+2y_B}{5} \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt für $\overline{AP}:\overline{BP}=n:m$

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{m\cdot x_A+n\cdot x_B}{n+m} \\ y_P & = & \frac{m\cdot y_A+n\cdot y_B}{n+m} \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe 581a ergeben sich folgende Koordinaten für den Punkt $P$ :

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3\cdot (-1)+2\cdot (-1)}{5} = -1 \\ y_P & = & \frac{3\cdot 9.5+2\cdot 2}{5} = 6.5 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $P\!\left(-1/6.5\right)$ teilt also die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $2:3$ , was mit den speziellen Werten dieses Beispiels auch einfacher hätte berechnet werden können.

Lösung

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