Potenzen mit beliebigen rationalen Exponenten

Für a\in \mathbb{R}^+ und n\in \mathbb{N} mit n>1 versteht man unter der Potenz a^n die Multiplikation von a n-mal mit sich selbst, also

    \begin{equation*} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{~Faktoren}} \end{equation*}

a ist die Basis, n ist der Exponent der Potenz a^n.

Die Potenzgesetze


Das folgende Beispiel zeigt die Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis:

    \begin{equation*} a^3\cdot a^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3+2}=a^5 \end{equation*}

Aus dem Beispiel erkennt man ein erstes Potenzgesetz

(1)   \begin{equation*} a^m\cdot a^n=a^{m+n} \end{equation*}

Im nächsten Beispiel berechnen wir die Potenz einer Potenz:

    \begin{equation*} \left(a^3\right)^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3\cdot 2}=a^6 \end{equation*}

Aus dem Beispiel ist ein zweites Potenzgesetz ersichtlich

(2)   \begin{equation*} \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \end{equation*}

Bedeutung für n=1


Es stellt sich zunächst die Frage, was a^1 bedeuten soll, da für eine Multiplikation mindestens zwei Faktoren benötigt werden. Wir gehen vom Potenzgesetz (1) aus, der auch für den Exponenten n=1 gelten soll:

    \begin{equation*} a^1\cdot a^1=a^{1+1}=a^2=a\cdot a \end{equation*}

Daraus schliessen wir, dass a^1=a sein muss.

Bedeutung für n=0


Für den Exponenten n=0 soll das Potenzgesetz (1) auch gültig sein, so dass wir folgende Termumformungen vornehmen können.

    \begin{equation*} a^0\cdot a=a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a \end{equation*}

Daraus folgt, dass a^0=1 sein muss.

Bedeutung für -n


Es sei n\in \mathbb{N}. Wie soll man eine Potenz mit negativem Exponenten deuten, also a^{-n}? Nun, auch hier soll das Potenzgesetz (1) gültig sein, was auf folgende Umformungen führt:

    \begin{equation*} a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1 \end{equation*}

Wenn man die Gleichung a^{-n}\cdot a^n=1 nach a^{-n} auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch a^n teilt, erhält man

    \begin{equation*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{equation*}

was auf a^{-n}=1/a^n führt.

Bedeutung für 1/n


Nun soll der Exponent eine rationale Zahl sein. Das Potenzgesetz (2) soll auch für die Potenz a^{1/n} gelten:

    \begin{equation*} \left(a^{1/n}\right)^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a \end{equation*}

Wenn man die Gleichung \left(a^{1/n}\right)^n=a nach a^{1/n} auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die n-te Wurzel zieht, erhält man die Deutung

    \begin{equation*} a^{1/n}=\sqrt[n]{a} \end{equation*}

Potenz für beliebige rationale Exponenten


Als allgemeinen Fall für beliebige rationale Exponenten nehmen wir die Potenz a^{m/n} mit a\in \mathbb{R}^+, n\in \mathbb{N} und m\in \mathbb{Z}. Hier soll wieder das Potenzgesetz (2) gelten.

    \begin{equation*} a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m \end{equation*}

Das führt zu a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m.

Schwierigkeit mit 0^0


Geht man von der Folge

    \begin{equation*} \begin{matrix} 0^1, & 0^{1/2},  & 0^{1/3},     & 0^{1/4},     & 0^{1/5},     & 0^{1/6},     & 0^{1/7},     & \cdots \\ 0,   & \sqrt{0}, & \sqrt[3]{0}, & \sqrt[4]{0}, & \sqrt[5]{0}, & \sqrt[6]{0}, & \sqrt[7]{0}, & \cdots \\ 0,   & 0,        & 0,           & 0,           & 0,           & 0,           & 0,           & \cdots \end{matrix} \end{equation*}

aus, würde man 0^0=0 definieren.
Geht man allerdings von der Folge

    \begin{equation*} \begin{matrix} 1^0, & \left({1/2}\right)^0, & \left({1/3}\right)^0, & \left({1/4}\right)^0, & \left({1/5}\right)^0, & \left({1/6}\right)^0, & \cdots \\ 1,   & 1,                    & 1,                    & 1,                    & 1,                    & 1,                    & \cdots \end{matrix} \end{equation*}

aus, ergibt sich die Definition 0^0=1.

Negative Basis


Es soll zum Abschluss der Fall \left(-1\right)^2=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) behandelt werden. Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

    \begin{eqnarray*} \left(10-1\right)^2                                 & = & 81 \\ \left(10+\left(-1\right)\right)^2                   & = & 81 \\ 10^2+2\cdot10\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ 80+\left(-1\right)^2                                & = & 81 \\ \left(-1\right)^2                                   & = & 1 \end{eqnarray*}

Es folgt also, dass \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1 ist. Damit ist die Frage beantwortet, wieso “Minus mal Minus” “Plus” ergibt.

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