Für und
mit
versteht man unter der Potenz
die Multiplikation von
-mal mit sich selbst, also
ist die Basis,
ist der Exponent der Potenz
.
Die Potenzgesetze
Das folgende Beispiel zeigt die Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis:
Aus dem Beispiel erkennt man ein erstes Potenzgesetz
(1)
Im nächsten Beispiel berechnen wir die Potenz einer Potenz:
Aus dem Beispiel ist ein zweites Potenzgesetz ersichtlich
(2)
Bedeutung für ![Rendered by QuickLaTeX.com n=1](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d14e3a8d66cab2fb8b3633d5052d14b_l3.png)
Es stellt sich zunächst die Frage, was
![Rendered by QuickLaTeX.com a^1](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33ab642f92fb69e4618cd7ffbe49648f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n=1](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d14e3a8d66cab2fb8b3633d5052d14b_l3.png)
Daraus schliessen wir, dass sein muss.
Bedeutung für ![Rendered by QuickLaTeX.com n=0](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec5ea6282fae2373ee5f8974a3196dfa_l3.png)
Für den Exponenten
![Rendered by QuickLaTeX.com n=0](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec5ea6282fae2373ee5f8974a3196dfa_l3.png)
Daraus folgt, dass sein muss.
Bedeutung für ![Rendered by QuickLaTeX.com -n](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c32e878e9c790cfd99f7273295dbea1_l3.png)
Es sei
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in \mathbb{N}](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e7566c347782356bd2b6df62c57934a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a^{-n}](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aea6843bd6ff087e2b281763e3ca1934_l3.png)
Wenn man die Gleichung nach
auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch
teilt, erhält man
was auf führt.
Bedeutung für ![Rendered by QuickLaTeX.com 1/n](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f5ea4424a711ca5500b8a4c08bf8641_l3.png)
Nun soll der Exponent eine rationale Zahl sein. Das Potenzgesetz (2) soll auch für die Potenz
![Rendered by QuickLaTeX.com a^{1/n}](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15f0b6cb8a939c5c20addb96c83d0104_l3.png)
Wenn man die Gleichung nach
auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die
-te Wurzel zieht, erhält man die Deutung
Potenz für beliebige rationale Exponenten
Als allgemeinen Fall für beliebige rationale Exponenten nehmen wir die Potenz
![Rendered by QuickLaTeX.com a^{m/n}](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc769e0bae14f975d4610946d4d0bfa4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a\in \mathbb{R}^+](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f29f0968d4ebf04a9bdfe61bd03a10c4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in \mathbb{N}](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e7566c347782356bd2b6df62c57934a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com m\in \mathbb{Z}](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c4a683c5482d58ffa4667f7352358c1_l3.png)
Das führt zu .
Schwierigkeit mit ![Rendered by QuickLaTeX.com 0^0](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e5cb74c2461e96fa18aa2d4a1b351c3_l3.png)
Geht man von der Folge
aus, würde man definieren.
Geht man allerdings von der Folge
aus, ergibt sich die Definition .
Negative Basis
Es soll zum Abschluss der Fall
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(-1\right)^2=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)](https://mathe.solutions/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-475b36c8b2b19ffc7832602ce9246d9d_l3.png)
Es folgt also, dass ist. Damit ist die Frage beantwortet, wieso «Minus mal Minus» «Plus» ergibt.