Potenzen mit beliebigen rationalen Exponenten

Für $a\in \mathbb{R}^+$ und $n\in \mathbb{N}$ mit $n>1$ versteht man unter der Potenz $a^n$ die Multiplikation von $a$ $n$ -mal mit sich selbst, also

$\begin{equation*} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{~Faktoren}} \end{equation*}$

$a$ ist die Basis, $n$ ist der Exponent der Potenz $a^n$ .

Die Potenzgesetze

Das folgende Beispiel zeigt die Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis:

$\begin{equation*} a^3\cdot a^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3+2}=a^5 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel erkennt man ein erstes Potenzgesetz

(1) $\begin{equation*} a^m\cdot a^n=a^{m+n} \end{equation*}$

Im nächsten Beispiel berechnen wir die Potenz einer Potenz:

$\begin{equation*} \left(a^3\right)^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3\cdot 2}=a^6 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel ist ein zweites Potenzgesetz ersichtlich

(2) $\begin{equation*} \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \end{equation*}$

Bedeutung für $n=1$

Es stellt sich zunächst die Frage, was $a^1$ bedeuten soll, da für eine Multiplikation mindestens zwei Faktoren benötigt werden. Wir gehen vom Potenzgesetz (1) aus, der auch für den Exponenten $n=1$ gelten soll:

$\begin{equation*} a^1\cdot a^1=a^{1+1}=a^2=a\cdot a \end{equation*}$

Daraus schliessen wir, dass $a^1=a$ sein muss.

Bedeutung für $n=0$

Für den Exponenten $n=0$ soll das Potenzgesetz (1) auch gültig sein, so dass wir folgende Termumformungen vornehmen können.

$\begin{equation*} a^0\cdot a=a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a \end{equation*}$

Daraus folgt, dass $a^0=1$ sein muss.

Bedeutung für $-n$

Es sei $n\in \mathbb{N}$ . Wie soll man eine Potenz mit negativem Exponenten deuten, also $a^{-n}$ ? Nun, auch hier soll das Potenzgesetz (1) gültig sein, was auf folgende Umformungen führt:

$\begin{equation*} a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1 \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $a^{-n}\cdot a^n=1$ nach $a^{-n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch $a^n$ teilt, erhält man

$\begin{equation*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{equation*}$

was auf $a^{-n}=1/a^n$ führt.

Bedeutung für $1/n$

Nun soll der Exponent eine rationale Zahl sein. Das Potenzgesetz (2) soll auch für die Potenz $a^{1/n}$ gelten:

$\begin{equation*} \left(a^{1/n}\right)^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $\left(a^{1/n}\right)^n=a$ nach $a^{1/n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die $n$ -te Wurzel zieht, erhält man die Deutung

$\begin{equation*} a^{1/n}=\sqrt[n]{a} \end{equation*}$

Potenz für beliebige rationale Exponenten

Als allgemeinen Fall für beliebige rationale Exponenten nehmen wir die Potenz $a^{m/n}$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ , $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \mathbb{Z}$ . Hier soll wieder das Potenzgesetz (2) gelten.

$\begin{equation*} a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m \end{equation*}$

Das führt zu $a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m$ .

Schwierigkeit mit $0^0$

Geht man von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 0^1, & 0^{1/2}, & 0^{1/3}, & 0^{1/4}, & 0^{1/5}, & 0^{1/6}, & 0^{1/7}, & \cdots \\ 0, & \sqrt{0}, & \sqrt[3]{0}, & \sqrt[4]{0}, & \sqrt[5]{0}, & \sqrt[6]{0}, & \sqrt[7]{0}, & \cdots \\ 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, würde man $0^0=0$ definieren.
Geht man allerdings von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 1^0, & \left({1/2}\right)^0, & \left({1/3}\right)^0, & \left({1/4}\right)^0, & \left({1/5}\right)^0, & \left({1/6}\right)^0, & \cdots \\ 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, ergibt sich die Definition $0^0=1$ .

Negative Basis

Es soll zum Abschluss der Fall $\left(-1\right)^2=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)$ behandelt werden. Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} \left(10-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(10+\left(-1\right)\right)^2 & = & 81 \\ 10^2+2\cdot10\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ 80+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(-1\right)^2 & = & 1 \end{eqnarray*}$

Es folgt also, dass $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ ist. Damit ist die Frage beantwortet, wieso «Minus mal Minus» «Plus» ergibt.

Die Potenzgesetze

Bedeutung für

Bedeutung für

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Potenz für beliebige rationale Exponenten

Schwierigkeit mit

Negative Basis

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Bedeutung für $n=1$

Bedeutung für $n=0$

Bedeutung für $-n$

Bedeutung für $1/n$

Schwierigkeit mit $0^0$