August 2015 – Mathe Solutions

Potenzen mit beliebigen rationalen Exponenten

Für $a\in \mathbb{R}^+$ und $n\in \mathbb{N}$ mit $n>1$ versteht man unter der Potenz $a^n$ die Multiplikation von $a$ $n$ -mal mit sich selbst, also

$\begin{equation*} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{~Faktoren}} \end{equation*}$

$a$ ist die Basis, $n$ ist der Exponent der Potenz $a^n$ .

Die Potenzgesetze

Das folgende Beispiel zeigt die Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis:

$\begin{equation*} a^3\cdot a^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3+2}=a^5 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel erkennt man ein erstes Potenzgesetz

(1) $\begin{equation*} a^m\cdot a^n=a^{m+n} \end{equation*}$

Im nächsten Beispiel berechnen wir die Potenz einer Potenz:

$\begin{equation*} \left(a^3\right)^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3\cdot 2}=a^6 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel ist ein zweites Potenzgesetz ersichtlich

(2) $\begin{equation*} \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \end{equation*}$

Bedeutung für $n=1$

Es stellt sich zunächst die Frage, was $a^1$ bedeuten soll, da für eine Multiplikation mindestens zwei Faktoren benötigt werden. Wir gehen vom Potenzgesetz (1) aus, der auch für den Exponenten $n=1$ gelten soll:

$\begin{equation*} a^1\cdot a^1=a^{1+1}=a^2=a\cdot a \end{equation*}$

Daraus schliessen wir, dass $a^1=a$ sein muss.

Bedeutung für $n=0$

Für den Exponenten $n=0$ soll das Potenzgesetz (1) auch gültig sein, so dass wir folgende Termumformungen vornehmen können.

$\begin{equation*} a^0\cdot a=a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a \end{equation*}$

Daraus folgt, dass $a^0=1$ sein muss.

Bedeutung für $-n$

Es sei $n\in \mathbb{N}$ . Wie soll man eine Potenz mit negativem Exponenten deuten, also $a^{-n}$ ? Nun, auch hier soll das Potenzgesetz (1) gültig sein, was auf folgende Umformungen führt:

$\begin{equation*} a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1 \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $a^{-n}\cdot a^n=1$ nach $a^{-n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch $a^n$ teilt, erhält man

$\begin{equation*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{equation*}$

was auf $a^{-n}=1/a^n$ führt.

Bedeutung für $1/n$

Nun soll der Exponent eine rationale Zahl sein. Das Potenzgesetz (2) soll auch für die Potenz $a^{1/n}$ gelten:

$\begin{equation*} \left(a^{1/n}\right)^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $\left(a^{1/n}\right)^n=a$ nach $a^{1/n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die $n$ -te Wurzel zieht, erhält man die Deutung

$\begin{equation*} a^{1/n}=\sqrt[n]{a} \end{equation*}$

Potenz für beliebige rationale Exponenten

Als allgemeinen Fall für beliebige rationale Exponenten nehmen wir die Potenz $a^{m/n}$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ , $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \mathbb{Z}$ . Hier soll wieder das Potenzgesetz (2) gelten.

$\begin{equation*} a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m \end{equation*}$

Das führt zu $a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m$ .

Schwierigkeit mit $0^0$

Geht man von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 0^1, & 0^{1/2}, & 0^{1/3}, & 0^{1/4}, & 0^{1/5}, & 0^{1/6}, & 0^{1/7}, & \cdots \\ 0, & \sqrt{0}, & \sqrt[3]{0}, & \sqrt[4]{0}, & \sqrt[5]{0}, & \sqrt[6]{0}, & \sqrt[7]{0}, & \cdots \\ 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, würde man $0^0=0$ definieren.
Geht man allerdings von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 1^0, & \left({1/2}\right)^0, & \left({1/3}\right)^0, & \left({1/4}\right)^0, & \left({1/5}\right)^0, & \left({1/6}\right)^0, & \cdots \\ 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, ergibt sich die Definition $0^0=1$ .

Negative Basis

Es soll zum Abschluss der Fall $\left(-1\right)^2=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)$ behandelt werden. Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} \left(10-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(10+\left(-1\right)\right)^2 & = & 81 \\ 10^2+2\cdot10\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ 80+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(-1\right)^2 & = & 1 \end{eqnarray*}$

Es folgt also, dass $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ ist. Damit ist die Frage beantwortet, wieso «Minus mal Minus» «Plus» ergibt.

581a – FW Algebra

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $P$ , der folgende Bedingungen erfüllt:

$P$ liegt auf der Verbindungsstrecke $\overline{AB}$ ,
$\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$

$\begin{equation*} A\!\left(-1/9.5\right) ; B\!\left(-1/2\right) \end{equation*}$

Lösung

Zunächst können wir feststellen, dass im Beispiel $\overline{AP}:\overline{BP}=2:3$ der Punkt $P$ näher bei $A$ als bei $B$ liegt. Weiter können wir aus den Strahlensätzen (siehe Figur unten) sagen, dass $\left|x_P-x_A\right|:\left|x_B-x_P\right|=2:3$ und $\left|y_P-y_A\right|:\left|y_B-y_P\right|=2:3$ .

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Die Koordinaten des Punktes $P$ lassen sich als gewichtete Mittelwerte der Koordinaten von $A$ und $B$ berechnen, wobei die Gewichtung eines gegebenen Punktes um so grösser ist, je näher $P$ bei diesem Punkt liegt. Für unser Beispiel gilt also

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3x_A+2x_B}{5} \\ y_P & = & \frac{3y_A+2y_B}{5} \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt für $\overline{AP}:\overline{BP}=n:m$

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{m\cdot x_A+n\cdot x_B}{n+m} \\ y_P & = & \frac{m\cdot y_A+n\cdot y_B}{n+m} \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe 581a ergeben sich folgende Koordinaten für den Punkt $P$ :

$\begin{eqnarray*} x_P & = & \frac{3\cdot (-1)+2\cdot (-1)}{5} = -1 \\ y_P & = & \frac{3\cdot 9.5+2\cdot 2}{5} = 6.5 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $P\!\left(-1/6.5\right)$ teilt also die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $2:3$ , was mit den speziellen Werten dieses Beispiels auch einfacher hätte berechnet werden können.

1c – FW Algebra

Verwandeln Sie in eine gekürzte Bruchzahl.

$\begin{equation*} 1.\overline{756} \end{equation*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

Die Standard-Toleranz der Funktion approxFraction(5.E-14) sollte vergrössert werden, um ein vernünftiges Resultat zu bekommen, da der Eingabewert gerundet wird. Im Beispiel oben wurde der Eingabewert bei der zehnten Nachkommastelle abgeschnitten und eine Toleranz von 0.001 gewählt.

8d – FW Algebra

$\begin{equation*} T\!\left(r;s;t\right)=\frac{5rs+4s^2}{r+s+t^2} \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} T\!\left(2;3;4) & = & ? \\ T\!\left(5;-2;-3) & = & ? \end{eqnarray*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

8b – FW Algebra

$\begin{equation*} T\!\left(x\right)=\frac{2x^3-4x}{\left(x-2\right)^2} \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} T\!\left(-1\right) & = & ? \\ T\!\left(0\right) & = & ? \\ T\!\left(2\right) & = & ? \end{eqnarray*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

$T\!\left(2\right)=\infty$ ist folgendermassen zu interpretieren:

$\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 2} T\!\left(x\right) = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x^3-4x}{\left(x-2\right)^2} \rightarrow \infty$ \end{equation*}$

329c – FW Algebra

$\begin{equation*} \frac{v^2}{v-2}=3-\frac{4}{2-v} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{v^2}{v-2} & = & 3+\frac{4}{v-2} \\ \frac{v^2}{v-2} & = & \frac{3\left(v-2\right)+4}{v-2} \mid \cdot\left(v-2\right) \\ v^2 & = & 3v-6+4 \\ v^2-3v+2 & = & 0 \\ \left(v-1\right)\left(v-2\rigt) & = & 0 \\ \underline{\underline{v_1=1}}, \left[v_2=2\right] & & \end{eqnarray*}$

Die dritte Wurzel im Kopf ziehen

Im letzten Mai machte mich ein Schüler auf das folgende YouTube Video aufmerksam: How To Calculate Cube Roots INSTANTLY! (in Englisch, Dauer: 12:09)

Die Frage war, ob die im Video vorgestellte Methode immer funktioniert, und weshalb.

Nun, es geht darum, im Kopf die dritte Wurzel einer Zahl zu ziehen. Das Resultat ist jeweils eine zweiziffrige Zahl. Machen wir gleich ein Beispiel:

Es soll die dritte Wurzel von 39304 gezogen werden, also $\sqrt[3]{39304}$ , was als Resultat die zweiziffrige Zahl 34 ergibt, da $34^3=34 \cdot 34 \cdot 34=39304$ ist.

Die im Video vorgestellte Methode basiert auf folgende zwei Zeilen, wobei die erste die Auflistung der Ziffern 0 bis 9 darstellt, und die zweite Zeile deren Kubikzahlen angibt.

$\begin{equation*} \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 8 & 27 & 64 & 125 & 216 & 343 & 512 & 729 \end{matrix} \end{equation*}$

Die Kubikzahlen in der zweiten Zeile sollte man auswendig lernen. Um die dritte Wurzel von 39304 zu ziehen, schaut man sich die Tausender an, also in unserem Beispiel die Zahl 39. Es gilt

$\begin{equation*} \begin{matrix} 27 & < & 39 & < & 64 \\ \mathcolor{blue}{3}^3 & < & 39 & < & \mathcolor{red}{4}^3 \end{matrix} \end{equation*}$

Demzufolge ist die gesuchte dritte Wurzel eine Zahl zwischen $\mathcolor{blue}{3}0$ und $\mathcolor{red}{4}0$ .

Im zweiten Schritt vergleicht man die Endziffer von 39304 mit den Endziffern der obigen Kubikzahlen. Da die 4 bei der 64 auftaucht, ist die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel die Zahl unmittelbar über der 64, im Beispiel also die 4.

Machen wir noch ein Beispiel: $\sqrt[3]{185193}=?$

Hier ist

$\begin{equation*} \begin{matrix} 125 & < & 185 & < 216 \\ \mathcolor{blue}{5}^3 & < & 185 & < \mathcolor{red}{6}^3 \end{matrix} \end{equation*}$

Die gesuchte dritte Wurzel ist also eine Zahl zwischen $\mathcolor{blue}{5}0$ und $\mathcolor{red}{6}0$ .

Da die Endziffer von 185193 eine 3 ist und die 3 als Endziffer von 343 auftaucht, ist die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel eine 7, die Zahl oberhalb der 343. Die gesuchte dritte Wurzel von 185193 ist also 57.

Überlegen Sie nun, weshalb die im Video gezeigte Methode funktioniert. Ich schlüssle es im ersten Kommentar zu diesem Beitrag auf.