Die dritte Wurzel im Kopf ziehen

Im letzten Mai machte mich ein Schüler auf das folgende YouTube Video aufmerksam: How To Calculate Cube Roots INSTANTLY! (in Englisch, Dauer: 12:09)

Die Frage war, ob die im Video vorgestellte Methode immer funktioniert, und weshalb.

Nun, es geht darum, im Kopf die dritte Wurzel einer Zahl zu ziehen. Das Resultat ist jeweils eine zweiziffrige Zahl. Machen wir gleich ein Beispiel:

Es soll die dritte Wurzel von 39304 gezogen werden, also \sqrt[3]{39304}, was als Resultat die zweiziffrige Zahl 34 ergibt, da 34^3=34 \cdot 34 \cdot 34=39304 ist.

Die im Video vorgestellte Methode basiert auf folgende zwei Zeilen, wobei die erste die Auflistung der Ziffern 0 bis 9 darstellt, und die zweite Zeile deren Kubikzahlen angibt.

    \begin{equation*} \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 8 & 27 & 64 & 125 & 216 & 343 & 512 & 729 \end{matrix} \end{equation*}

Die Kubikzahlen in der zweiten Zeile sollte man auswendig lernen. Um die dritte Wurzel von 39304 zu ziehen, schaut man sich die Tausender an, also in unserem Beispiel die Zahl 39. Es gilt

    \begin{equation*} \begin{matrix} 27 & < & 39 & < & 64 \\ \mathcolor{blue}{3}^3 & < & 39 & < & \mathcolor{red}{4}^3 \end{matrix} \end{equation*}

Demzufolge ist die gesuchte dritte Wurzel eine Zahl zwischen \mathcolor{blue}{3}0 und \mathcolor{red}{4}0.

Im zweiten Schritt vergleicht man die Endziffer von 39304 mit den Endziffern der obigen Kubikzahlen. Da die 4 bei der 64 auftaucht, ist die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel die Zahl unmittelbar über der 64, im Beispiel also die 4.

Machen wir noch ein Beispiel: \sqrt[3]{185193}=?

Hier ist

    \begin{equation*} \begin{matrix} 125 & < & 185 & < 216 \\ \mathcolor{blue}{5}^3 & < & 185 & < \mathcolor{red}{6}^3 \end{matrix} \end{equation*}

Die gesuchte dritte Wurzel ist also eine Zahl zwischen \mathcolor{blue}{5}0 und \mathcolor{red}{6}0.

Da die Endziffer von 185193 eine 3 ist und die 3 als Endziffer von 343 auftaucht, ist die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel eine 7, die Zahl oberhalb der 343. Die gesuchte dritte Wurzel von 185193 ist also 57.

Überlegen Sie nun, weshalb die im Video gezeigte Methode funktioniert. Ich schlüssle es im ersten Kommentar zu diesem Beitrag auf.

One thought on “Die dritte Wurzel im Kopf ziehen”

  1. Gegeben ist die Zahl n^3, wobei n eine zweiziffrige Zahl ist mit n=z\cdot 10+e. Dabei stellen z\in {1, 2, 3,\cdots, 8, 9} die Zehnerziffer und e\in {0, 1, 2, 3,\cdots, 8, 9} die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel n dar.

        \begin{eqnarray*} n^3 & = & \left(10z+e\rigt)^3 \\ & = & \left(1000\cdot z^3+3\cdot 100z^2\cdot e+3\cdot 10z\cdot e^2+e^3\rigth) \\ & = & z^3 \cdot 10^3+300\cdot z^2 \cdot e + 30z\cdot e^2 +e^3 \end{eqnarray*}

    Es gilt, dass \left(z+1\rigt)^3\cdot 10^3>n^3\geq z^3\cdot 10^3. Die Tausender von n^3 liegen also zwischen \left(z+1\rigt)^3 und z^3, was aus der Zeile mit den Kubikzahlen auf die Zehnerziffer der gesuchten dritten Wurzel führt.
    Die Einerziffer von n^3 wird einzig durch den Summanden e^3 bestimmt. Da in den 10 Kubikzahlen die Ziffern 0 bis 9 jeweils nur ein Mal als Endziffer auftauchen, kann die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel direkt oberhalb der Kubikzahl mit gleicher Endziffer wie die der gegeben Zahl abgelesen werden.

Schreiben Sie einen Kommentar

Ihre E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahren Sie mehr darüber, wie Ihre Kommentardaten verarbeitet werden .