Algebra – Mathe Solutions

Binomische Formeln

Logarithmus einer negativen Zahl mit dem TI Nspire

An der Berufsmaturitätsschule wird in der Menge der reellen Zahlen gerechnet, also in $\mathbb{R}$ . Der Logarithmus ist in $\mathbb{R}$ nur für $x>0$ definiert, d. h. für positive Zahlen. Berechnet man mit dem TI Nspire den Logarithmus einer negativen Zahl, führt dies zu einer Fehlermeldung: Der Logarithmus einer negativen Zahl ist in der Menge der komplexen Zahlen, also in $\mathbb{C}$ , definiert. Wechselt man in den Dokumenteneinstellungen des Taschenrechners den Berechnungsmodus von Reell auf Kartesisch, könnte man meinen, dass der TI Nspire den Logarithmus einer negativen Zahl als komplexe Zahl in der kartesischen Darstellung ausgeben würde. Leider produziert der Taschenrechner immer noch den gleichen Bereichsfehler wie oben.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Erst wenn auch der Winkel in den Dokumenteneinstellungen von Grad auf Bogenmass eingestellt wird,

erscheint der Logarithmus einer negativen Zahl:

Der TI Nspire rechnet erst dann mit komplexen Zahlen, wenn folgende zwei Einstellungen in den Dokumenteneinstellungen vorgenommen werden:

Winkel muss im Bogenmass stehen
Der Berechnungsmodus muss auf Kartesisch (oder Polar) eingestellt sein

Was ist der Logarithmus einer negativen Zahl?

Eine komplexe Zahl $z$ in Polarform sieht folgendermassen aus:

$\begin{equation*} z=r\cdot e^{i\phi} \end{equation*}$

Die Zahl $z$ kann als Punkt auf der $x/y$ -Ebene interpretiert werden, wobei auf der $x$ -Achse der reelle und auf der $y$ -Achse der imaginäre Teil der Zahl $z$ abgetragen wird. $r$ und $\phi$ sind die Polarkoordinaten des Punktes, wobei $\phi$ im Bogenmass angegeben wird. $e$ ist die Eulersche Zahl, und die imaginäre Zahl $i$ ist die Wurzel von $-1$ , also $i=\sqrt{-1}$ .
Wir möchten das Beispiel von oben aufgreifen und den Zehnerlogarithmus von $-10$ berechnen. Die Zahl $-10$ liegt in der komplexen Ebene auf der reellen Achse im Abstand $10$ links vom Ursprung, und der Winkel ist $\pi$ . Es gilt also

$\begin{equation*} -10=10\cdot e^{i\pi} \end{equation*}$

Tatsächlich vereinfacht der TI Nspire den Term $10\cdot e^{i\pi}$ zur negativen Zahl $-10$ .Wir berechnen nun den Zehnerlogarithmus von $-10$ :

$\begin{eqnarray*} \log_{10}(-10) & = & \log_{10}\left(10\cdot e^{i\pi}\right) \\ & = & \log_{10}(10)+\log_{10}\left(e^{i\pi}\right) \\ & = & 1+i\pi\cdot\log_{10}(e) \\ & = & 1+\pi\cdot\log_{10}(e)\cdot i \end{eqnarray*}$

Das ist das Resultat, welches der Taschenrechner ausgegeben hatte.

Taschenrechner mit beliebiger Genauigkeit

spigot ist ein Command-Line-Taschenrechner für reelle Zahlen, mit dem man Berechnungen in beliebiger Genauigkeit durchführen kann.

Zum Beispiel kann man die Zahl π mit den ersten 10000 Dezimalstellen mit folgendem Befehl in eine Text-Datei schreiben lassen:
>spigot.exe -d10000 pi > pi_10000.txt

Über die Website des Programms gelangt man zur englischen Benutzeranleitung und zum wissenschaftlichen Paper mit den Erläuterungen zu den verwendeten mathematischen und programmiertechnischen Verfahren.

48f – FW Algebra

Kürzen Sie vollständig; falls möglich.

$\begin{equation*} \frac{3n^2+8n+4}{n^2-4n+4} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+8n+4}{n^2-4n+4} & = & \underline{\underline{\frac{\left(3n+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n-2\right)^2}}} \end{eqnarray*}$

Der Bruch lässt sich nicht kürzen.

138l – FW Algebra

Bringen Sie den Wurzelterm auf die Normalform.

$\begin{equation*} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}} & = & \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}}\cdot\frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2-2} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{3-2\sqrt{15}+5-2} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{6-2\sqrt{15}} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{2\left( 3-\sqrt{15}\right)}\cdot\frac{3+\sqrt{15}}{3+\sqrt{15}} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2\left( 3+\sqrt{15}\right)}{2\left(9-15\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} = \frac{\left( 3+5+2-2\sqrt{15}-2\sqrt{6}+2\sqrt{10}\right)\left( 3+\sqrt{15}\right)}{-12} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{\left( 10-2\sqrt{15}-2\sqrt{6}+2\sqrt{10}\right)\left( 3+\sqrt{15}\right)}{-12} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{\left( 5-\sqrt{15}-\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)\left( 3+\sqrt{15}\right)}{-6} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{15+5\sqrt{15}-3\sqrt{15}-15-3\sqrt{6}-\sqrt{90}+3\sqrt{10}+\sqrt{150}}{-6} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{2\sqrt{15}-3\sqrt{6}-3\sqrt{10}+3\sqrt{10}+5\sqrt{6}}{-6} = \underline{\underline{-\frac{1}{3}\sqrt{6}-\frac{1}{3}\sqrt{15}}} \end{equation*}$

138k – FW Algebra

Bringen Sie den Wurzelterm auf die Normalform.

$\begin{equation*} \frac{2\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}} & = & \frac{2\sqrt{6}-1}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) + \sqrt{6}}\cdot\frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) - \sqrt{6}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) - \sqrt{6}} \\ & = & \frac{\left( 2\sqrt{6}-1\right)\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2 - 6} \\ & = & \frac{2\sqrt{12}+2\sqrt{18}-12-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2+2\sqrt{6}+3-6} \\ & = & \frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-12-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1} \\ & = & \frac{5\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}-12}{2\sqrt{6}-1}\cdot\frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1} \\ & = & \frac{\left( 5\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}-12\right)\left( 2\sqrt{6}+1\right)}{23} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} = \frac{10\sqrt{12}+5\sqrt{2}+6\sqrt{18}+3\sqrt{3}+12+\sqrt{6}-24\sqrt{6}-12}{23} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{20\sqrt{3}+5\sqrt{2}+18\sqrt{2}+3\sqrt{3}-23\sqrt{6}}{23} = \underline{\underline{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}} \end{equation*}$

136i – FW Algebra

Vereinfachen Sie so weit als möglich.
Das Resultat soll im Nenner keine Wurzeln aufweisen.
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich des gegebenen Terms an.

$\begin{equation*} \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \end{equation*}$

Lösung

Definitionsbereich:
Zum einen muss der Radikand grösser gleich null sein, also $x\geq 0$ . Zum anderen darf der Nenner nicht null sein:

$\begin{eqnarray*} x+\sqrt{x} & = & 0 ~~~~~~~~~(*) \\ x & = & -\sqrt{x} ~~~\mid ~^{\wedge}2 \\ x^2 & = & x \\ x^2-x & = & 0 \\ x\left( x-1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$

Die zweite Lösung 1 ist eine Scheinlösung der ursprünglichen Wurzelgleichung $(*)$ . Es folgt also, dass $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$ .

Vereinfachung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} & = & \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\cdot\frac{x-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}} \\ & = & \frac{\left( x+1+2\sqrt{x}\right)\cdot\left( x-\sqrt{x}\right)}{x^2-x} \\ & = & \frac{x^2-x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+2x\sqrt{x}-2x}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \frac{x^2+x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \frac{x\left( x+\sqrt{x}\right)-\left( x+\sqrt{x}\right)}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \frac{\left( x+\sqrt{x}\right)\left( x-1\right)}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \underline{\underline{\frac{x+\sqrt{x}}{x}}} \end{eqnarray*}$

132 – FW Algebra

(1) Prüfen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichungen ohne Rechner.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} & = & \sqrt{2+\frac{2}{3}} \\ 3\cdot\sqrt{\frac{3}{8}} & = & \sqrt{3+\frac{3}{8}} \end{eqnarray*}$

(2) Verallgemeinern Sie die obigen Zahlenbeispiele:

$\begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & ? \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie anschliessend $x$ aus $n$ .

Lösung

(1) Überprüfung

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} & = & \sqrt{2+\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4\cdot 2}{3}} & = & \sqrt{\frac{6+2}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot\sqrt{\frac{3}{8}} & = & \sqrt{3+\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{9\cdot 3}{8}} & = & \sqrt{\frac{24+3}{8}} \end{eqnarray*}$

(2) Verallgemeinerung:

$\begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & \sqrt{n+\frac{n}{x}} \end{eqnarray*}$

Berechnung von $x$ :

$\begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & \sqrt{n+\frac{n}{x}} \\ \sqrt{\frac{n^3}{x}} & = & \sqrt{\frac{nx+n}{x}} \\ \frac{n^3}{x} & = & \frac{nx+n}{x} \\ nx & = & n^3-n \\ x & = & \underline{\underline{n^2-1}} \end{eqnarray*}$

126l – FW Algebra

Berechnen Sie ohne Rechner.

$\begin{equation*} \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}}\cdot\sqrt{2\frac{2}{3}} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}}\cdot\sqrt{2\frac{2}{3}} & = & \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{9\cdot 3}}\cdot\sqrt{\frac{8}{3}} \\ & = & \frac{\sqrt{2}\cdot 2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot 3\cdot\sqrt{3}}\cdot\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ & = & \frac{4\cdot 2}{3\cdot 3} = \underline{\underline{\frac{8}{9}}} \end{eqnarray*}$

442b – FW Algebra

Lösen Sie das System ohne Fallunterscheidung.

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} a(x-y) & = & xy \\ b(x+y) & = & xy \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} a(x-y) & = & xy \\ b(x+y) & = & xy \end{array} \right| \end{align*}$

Einsetzmethode: die Gleichung (1) nach $x$ auflösen

$\begin{eqnarray*} ax-ay-xy & = & 0 \\ (a-y)x & = & ay \\ x & = & \frac{ay}{a-y} ~~~(*) \end{eqnarray*}$

in (2) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} b\left(\frac{ay}{a-y}+y\right) & = & \frac{ay^2}{a-y} \\ b\left(\frac{ay+ay-y^2}{a-y}\right) & = & \frac{ay^2}{a-y} ~~~\mid \cdot (a-y) \\ b(2ay-y^2) & = & ay^2 \\ 2aby-by^2 & = & ay^2 \\ ay^2+by^2-2aby & = & 0 \\ (a+b)y^2-2aby & = & 0 \\ y\left[\left(a+b\right)y-2ab\right] & = & 0 ~~~(**) \end{eqnarray*}$

Den ersten Faktor gleich Null setzen:

$\begin{equation*} y_1 = 0 \end{equation*}$

aus (*):

$\begin{equation*} x_1 = 0 \end{equation*}$

Den zweiten Faktor von (**) gleich Null setzen:

$\begin{equation*} y_2 = \frac{2ab}{a+b} \end{equation*}$

aus (*):

$\begin{eqnarray*} x_2 & = & \frac{\frac{2a^2b}{a+b}}{a-\frac{2ab}{a+b}} \\ x_2 & = & \frac{2a^2b}{a^2-ab} \\ x_2 & = & \frac{2ab}{a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(0,0\right),\left(\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab}{a+b}\right)\right\} \end{equation*}$