132 – FW Algebra

(1) Prüfen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichungen ohne Rechner.

    \begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} & = & \sqrt{2+\frac{2}{3}} \\ 3\cdot\sqrt{\frac{3}{8}} & = & \sqrt{3+\frac{3}{8}} \end{eqnarray*}

(2) Verallgemeinern Sie die obigen Zahlenbeispiele:

    \begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & ? \end{eqnarray*}

Berechnen Sie anschliessend x aus n.

Lösung

(1) Überprüfung

    \begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}  & = & \sqrt{2+\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4\cdot 2}{3}} & = & \sqrt{\frac{6+2}{3}} \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 3\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}  & = & \sqrt{3+\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{9\cdot 3}{8}} & = & \sqrt{\frac{24+3}{8}} \end{eqnarray*}

(2) Verallgemeinerung:

    \begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & \sqrt{n+\frac{n}{x}} \end{eqnarray*}

Berechnung von x:

    \begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & \sqrt{n+\frac{n}{x}}  \\ \sqrt{\frac{n^3}{x}}     & = & \sqrt{\frac{nx+n}{x}} \\ \frac{n^3}{x}            & = & \frac{nx+n}{x}        \\ nx                       & = & n^3-n                 \\ x                        & = & \underline{\underline{n^2-1}} \end{eqnarray*}

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