136i – FW Algebra

Vereinfachen Sie so weit als möglich.
Das Resultat soll im Nenner keine Wurzeln aufweisen.
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich des gegebenen Terms an.

    \begin{equation*} \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \end{equation*}

Lösung

Definitionsbereich:
Zum einen muss der Radikand grösser gleich null sein, also x\geq 0. Zum anderen darf der Nenner nicht null sein:

    \begin{eqnarray*} x+\sqrt{x} & = & 0 ~~~~~~~~~(*) \\ x          & = & -\sqrt{x} ~~~\mid ~^{\wedge}2 \\ x^2        & = & x \\ x^2-x      & = & 0 \\ x\left( x-1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}

Die zweite Lösung 1 ist eine Scheinlösung der ursprünglichen Wurzelgleichung (*). Es folgt also, dass \mathbb{D}=\mathbb{R}^+.

Vereinfachung:

    \begin{eqnarray*} \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}  & = & \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\cdot\frac{x-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}} \\  & = & \frac{\left( x+1+2\sqrt{x}\right)\cdot\left( x-\sqrt{x}\right)}{x^2-x} \\  & = & \frac{x^2-x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+2x\sqrt{x}-2x}{x\left( x-1\right)} \\  & = & \frac{x^2+x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{x\left( x-1\right)} \\  & = & \frac{x\left( x+\sqrt{x}\right)-\left( x+\sqrt{x}\right)}{x\left( x-1\right)} \\  & = & \frac{\left( x+\sqrt{x}\right)\left( x-1\right)}{x\left( x-1\right)} \\  & = & \underline{\underline{\frac{x+\sqrt{x}}{x}}} \end{eqnarray*}

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