Jose Osuna

32c – FW Geometrie (Vektorgeometrie)

Sind die folgenden Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig? $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BC}$

Lösung

Es gilt, dass $\overrightarrow{BC}=2\cdot\left(-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AM}\right)$
Die Gleichung lässt sich umformen zu
$2\cdot\overrightarrow{AP}-2\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$
womit die Bedingung für die lineare Abhängigkeit der drei gegeben Vektoren erfüllt ist.

Linear abhängige resp. unabhängige Vektoren

Die Vektoren $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \dots, \overrightarrow{a_n}$ sind linear abhängig, wenn sich Koeffizienten $k_i$ finden lassen, so dass die folgende Gleichung mindestens eine nichttriviale Lösung hat:

(1) $\begin{equation*} k_1\cdot \overrightarrow{a_1} + k_2\cdot \overrightarrow{a_2} + \cdots + k_n\cdot \overrightarrow{a_n} = \overrightarrow{0} \end{equation*}$

Die Triviallösung ist, wenn $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ gilt.
Hat Gleichung (1) keine Lösung, spricht man von linear unabhängigen Vektoren.

138l – FW Algebra

Bringen Sie den Wurzelterm auf die Normalform.

$\begin{equation*} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}} & = & \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}}\cdot\frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2-2} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{3-2\sqrt{15}+5-2} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{6-2\sqrt{15}} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2}{2\left( 3-\sqrt{15}\right)}\cdot\frac{3+\sqrt{15}}{3+\sqrt{15}} \\ & = & \frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2\left( 3+\sqrt{15}\right)}{2\left(9-15\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} = \frac{\left( 3+5+2-2\sqrt{15}-2\sqrt{6}+2\sqrt{10}\right)\left( 3+\sqrt{15}\right)}{-12} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{\left( 10-2\sqrt{15}-2\sqrt{6}+2\sqrt{10}\right)\left( 3+\sqrt{15}\right)}{-12} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{\left( 5-\sqrt{15}-\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)\left( 3+\sqrt{15}\right)}{-6} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{15+5\sqrt{15}-3\sqrt{15}-15-3\sqrt{6}-\sqrt{90}+3\sqrt{10}+\sqrt{150}}{-6} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{2\sqrt{15}-3\sqrt{6}-3\sqrt{10}+3\sqrt{10}+5\sqrt{6}}{-6} = \underline{\underline{-\frac{1}{3}\sqrt{6}-\frac{1}{3}\sqrt{15}}} \end{equation*}$

138k – FW Algebra

Bringen Sie den Wurzelterm auf die Normalform.

$\begin{equation*} \frac{2\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{6}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}} & = & \frac{2\sqrt{6}-1}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) + \sqrt{6}}\cdot\frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) - \sqrt{6}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) - \sqrt{6}} \\ & = & \frac{\left( 2\sqrt{6}-1\right)\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2 - 6} \\ & = & \frac{2\sqrt{12}+2\sqrt{18}-12-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2+2\sqrt{6}+3-6} \\ & = & \frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-12-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1} \\ & = & \frac{5\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}-12}{2\sqrt{6}-1}\cdot\frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1} \\ & = & \frac{\left( 5\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}-12\right)\left( 2\sqrt{6}+1\right)}{23} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} = \frac{10\sqrt{12}+5\sqrt{2}+6\sqrt{18}+3\sqrt{3}+12+\sqrt{6}-24\sqrt{6}-12}{23} \end{equation*}$

$\begin{equation*} = \frac{20\sqrt{3}+5\sqrt{2}+18\sqrt{2}+3\sqrt{3}-23\sqrt{6}}{23} = \underline{\underline{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}} \end{equation*}$

136i – FW Algebra

Vereinfachen Sie so weit als möglich.
Das Resultat soll im Nenner keine Wurzeln aufweisen.
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich des gegebenen Terms an.

$\begin{equation*} \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \end{equation*}$

Lösung

Definitionsbereich:
Zum einen muss der Radikand grösser gleich null sein, also $x\geq 0$ . Zum anderen darf der Nenner nicht null sein:

$\begin{eqnarray*} x+\sqrt{x} & = & 0 ~~~~~~~~~(*) \\ x & = & -\sqrt{x} ~~~\mid ~^{\wedge}2 \\ x^2 & = & x \\ x^2-x & = & 0 \\ x\left( x-1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$

Die zweite Lösung 1 ist eine Scheinlösung der ursprünglichen Wurzelgleichung $(*)$ . Es folgt also, dass $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$ .

Vereinfachung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} & = & \frac{x+1+2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\cdot\frac{x-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}} \\ & = & \frac{\left( x+1+2\sqrt{x}\right)\cdot\left( x-\sqrt{x}\right)}{x^2-x} \\ & = & \frac{x^2-x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+2x\sqrt{x}-2x}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \frac{x^2+x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \frac{x\left( x+\sqrt{x}\right)-\left( x+\sqrt{x}\right)}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \frac{\left( x+\sqrt{x}\right)\left( x-1\right)}{x\left( x-1\right)} \\ & = & \underline{\underline{\frac{x+\sqrt{x}}{x}}} \end{eqnarray*}$

132 – FW Algebra

(1) Prüfen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichungen ohne Rechner.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} & = & \sqrt{2+\frac{2}{3}} \\ 3\cdot\sqrt{\frac{3}{8}} & = & \sqrt{3+\frac{3}{8}} \end{eqnarray*}$

(2) Verallgemeinern Sie die obigen Zahlenbeispiele:

$\begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & ? \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie anschliessend $x$ aus $n$ .

Lösung

(1) Überprüfung

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} & = & \sqrt{2+\frac{2}{3}} \\ \sqrt{\frac{4\cdot 2}{3}} & = & \sqrt{\frac{6+2}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot\sqrt{\frac{3}{8}} & = & \sqrt{3+\frac{3}{8}} \\ \sqrt{\frac{9\cdot 3}{8}} & = & \sqrt{\frac{24+3}{8}} \end{eqnarray*}$

(2) Verallgemeinerung:

$\begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & \sqrt{n+\frac{n}{x}} \end{eqnarray*}$

Berechnung von $x$ :

$\begin{eqnarray*} n\cdot\sqrt{\frac{n}{x}} & = & \sqrt{n+\frac{n}{x}} \\ \sqrt{\frac{n^3}{x}} & = & \sqrt{\frac{nx+n}{x}} \\ \frac{n^3}{x} & = & \frac{nx+n}{x} \\ nx & = & n^3-n \\ x & = & \underline{\underline{n^2-1}} \end{eqnarray*}$

126l – FW Algebra

Berechnen Sie ohne Rechner.

$\begin{equation*} \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}}\cdot\sqrt{2\frac{2}{3}} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}}\cdot\sqrt{2\frac{2}{3}} & = & \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{9\cdot 3}}\cdot\sqrt{\frac{8}{3}} \\ & = & \frac{\sqrt{2}\cdot 2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot 3\cdot\sqrt{3}}\cdot\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ & = & \frac{4\cdot 2}{3\cdot 3} = \underline{\underline{\frac{8}{9}}} \end{eqnarray*}$

Funktionsgraphen – ganz leicht

62 – FW Geometrie (Vektorgeometrie)

Gegeben sind die Punkte A(-3/-4), B(7/1) und C(2/10).
Berechnen Sie den Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Trapez (AB || CD) mit CD = 6 cm bildet. (e_x = e_y = 1 cm)

Lösung

Ges.: D = (x / y)

$\begin{equation*} \overrightarrow{AB} = \binom{7-(-3)}{1-(-4)} = \binom{10}{5} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \overrightarrow{DC} = \binom{2-x}{10-y} \end{equation*}$

Weiter gilt, dass die Länge von $\overrightarrow{DC}$ 6 ist, wobei wir die Einheiten weglassen:

$\begin{equation*} \left| \overrightarrow{DC} \left|^2 = (2-x)^2 + (10-y)^2 = 36 ~~~(*) \end{equation*}$

Da AB || CD, gilt für ein positives $k$ :

$\begin{equation*} \overrightarrow{DC} = k\cdot \overrightarrow{AB} \end{equation*}$

Oder für die einzelnen Komponenten:

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} 2-x & = & k\cdot 10 \\ 10-y & = & k\cdot 5 \end{array} \right| \end{align*}$

Wenn (1) und (2) in (*) eingesetzt werden, ergibt sich die folgende Gleichung für $k$ , die nach dem positiven Wert von $k$ aufgelöst wird:

$\begin{eqnarray*} (10k)^2 + (5k)^2 & = & 36 \\ 125k^2 & = & 36 \\ k & = & \frac{6}{\sqrt{125}} \\ k & = & \frac{6}{5\cdot\sqrt{5}} \\ k & = & \frac{6\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun den Wert von $k$ in (1) und (2) ein, lassen sich die Koordinaten von D berechnen:

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} x & = & 2-\frac{60\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \\ y & = & 10-\frac{30\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \end{array} \right| \end{align*}$

D = $\left( 2-\frac{12\sqrt{5}}{5} / 10-\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)$

442b – FW Algebra

Lösen Sie das System ohne Fallunterscheidung.

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} a(x-y) & = & xy \\ b(x+y) & = & xy \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} a(x-y) & = & xy \\ b(x+y) & = & xy \end{array} \right| \end{align*}$

Einsetzmethode: die Gleichung (1) nach $x$ auflösen

$\begin{eqnarray*} ax-ay-xy & = & 0 \\ (a-y)x & = & ay \\ x & = & \frac{ay}{a-y} ~~~(*) \end{eqnarray*}$

in (2) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} b\left(\frac{ay}{a-y}+y\right) & = & \frac{ay^2}{a-y} \\ b\left(\frac{ay+ay-y^2}{a-y}\right) & = & \frac{ay^2}{a-y} ~~~\mid \cdot (a-y) \\ b(2ay-y^2) & = & ay^2 \\ 2aby-by^2 & = & ay^2 \\ ay^2+by^2-2aby & = & 0 \\ (a+b)y^2-2aby & = & 0 \\ y\left[\left(a+b\right)y-2ab\right] & = & 0 ~~~(**) \end{eqnarray*}$

Den ersten Faktor gleich Null setzen:

$\begin{equation*} y_1 = 0 \end{equation*}$

aus (*):

$\begin{equation*} x_1 = 0 \end{equation*}$

Den zweiten Faktor von (**) gleich Null setzen:

$\begin{equation*} y_2 = \frac{2ab}{a+b} \end{equation*}$

aus (*):

$\begin{eqnarray*} x_2 & = & \frac{\frac{2a^2b}{a+b}}{a-\frac{2ab}{a+b}} \\ x_2 & = & \frac{2a^2b}{a^2-ab} \\ x_2 & = & \frac{2ab}{a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(0,0\right),\left(\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab}{a+b}\right)\right\} \end{equation*}$