62 – FW Geometrie (Vektorgeometrie)

Gegeben sind die Punkte A(-3/-4), B(7/1) und C(2/10).
Berechnen Sie den Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Trapez (AB || CD) mit CD = 6 cm bildet. (ex = ey = 1 cm)

Lösung

Ges.: D = (x / y)

    \begin{equation*} \overrightarrow{AB} = \binom{7-(-3)}{1-(-4)} = \binom{10}{5} \end{equation*}

    \begin{equation*} \overrightarrow{DC} = \binom{2-x}{10-y} \end{equation*}

Weiter gilt, dass die Länge von \overrightarrow{DC} 6 ist, wobei wir die Einheiten weglassen:

    \begin{equation*} \left| \overrightarrow{DC} \left|^2 = (2-x)^2 + (10-y)^2 = 36 ~~~(*) \end{equation*}

Da AB || CD, gilt für ein positives k:

    \begin{equation*} \overrightarrow{DC} = k\cdot \overrightarrow{AB} \end{equation*}

Oder für die einzelnen Komponenten:

    \begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} 2-x  & = & k\cdot 10 \\ 10-y & = & k\cdot 5 \end{array} \right| \end{align*}

Wenn (1) und (2) in (*) eingesetzt werden, ergibt sich die folgende Gleichung für k, die nach dem positiven Wert von k aufgelöst wird:

    \begin{eqnarray*} (10k)^2 + (5k)^2 & = & 36 \\ 125k^2           & = & 36 \\ k                & = & \frac{6}{\sqrt{125}} \\ k                & = & \frac{6}{5\cdot\sqrt{5}} \\ k                & = & \frac{6\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \end{eqnarray*}

Setzt man nun den Wert von k in (1) und (2) ein, lassen sich die Koordinaten von D berechnen:

    \begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} x & = &  2-\frac{60\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \\ y & = & 10-\frac{30\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \end{array} \right| \end{align*}

D = \left( 2-\frac{12\sqrt{5}}{5} / 10-\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)

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