November 2015 – Mathe Solutions

442b – FW Algebra

Lösen Sie das System ohne Fallunterscheidung.

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} a(x-y) & = & xy \\ b(x+y) & = & xy \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} a(x-y) & = & xy \\ b(x+y) & = & xy \end{array} \right| \end{align*}$

Einsetzmethode: die Gleichung (1) nach $x$ auflösen

$\begin{eqnarray*} ax-ay-xy & = & 0 \\ (a-y)x & = & ay \\ x & = & \frac{ay}{a-y} ~~~(*) \end{eqnarray*}$

in (2) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} b\left(\frac{ay}{a-y}+y\right) & = & \frac{ay^2}{a-y} \\ b\left(\frac{ay+ay-y^2}{a-y}\right) & = & \frac{ay^2}{a-y} ~~~\mid \cdot (a-y) \\ b(2ay-y^2) & = & ay^2 \\ 2aby-by^2 & = & ay^2 \\ ay^2+by^2-2aby & = & 0 \\ (a+b)y^2-2aby & = & 0 \\ y\left[\left(a+b\right)y-2ab\right] & = & 0 ~~~(**) \end{eqnarray*}$

Den ersten Faktor gleich Null setzen:

$\begin{equation*} y_1 = 0 \end{equation*}$

aus (*):

$\begin{equation*} x_1 = 0 \end{equation*}$

Den zweiten Faktor von (**) gleich Null setzen:

$\begin{equation*} y_2 = \frac{2ab}{a+b} \end{equation*}$

aus (*):

$\begin{eqnarray*} x_2 & = & \frac{\frac{2a^2b}{a+b}}{a-\frac{2ab}{a+b}} \\ x_2 & = & \frac{2a^2b}{a^2-ab} \\ x_2 & = & \frac{2ab}{a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(0,0\right),\left(\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab}{a+b}\right)\right\} \end{equation*}$

439a – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} s^2 - st & = & 20 \\ t^2 - st & = & -5 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s^2 - st & = & 20 \\ t^2 - st & = & -5 \end{array} \right| \begin{array}{c} (*) \\ ~ \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t) & = & 20 \\ t(t-s) & = & -5 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \cdot(-1) \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t) & = & 20 \\ t(s-t) & = & 5 \end{array} \right| \end{align*}$

Die Gleichung (1) durch die Gleichung (2) teilen:

$\begin{eqnarray*} \frac{s}{t} & = & 4 \\ s & = & 4t ~~~(**) \end{eqnarray*}$

in (*) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 16t^2-4t^2 & = & 20 \\ 12t^2 & = & 20 \\ t^2 & = & \frac{5}{3} \\ t_{1,2} & = & \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$

in (**) einsetzen:

$\begin{equation*} s_{1,2} = \pm 4\sqrt{\frac{5}{3}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(4\sqrt{\frac{5}{3}},\sqrt{\frac{5}{3}}\right),\left(-4\sqrt{\frac{5}{3}},-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\right\} \end{equation*}$

438a – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} 2x^2+xy-3y^2 & = & x + 12 \\ x^2-4xy+4y^2 & = & 0 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} 2x^2+xy-3y^2 & = & x + 12 \\ x^2-4xy+4y^2 & = & 0 \end{array} \right| \end{align*}$

Die linke Seite der Gleichung (2) lässt sich mit Hilfe der 2. binomischen Formel faktorisieren:

$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2 & = & 0 ~~~~\mid \sqrt{\cdot} \\ x-2y & = & 0 \\ x & = & 2y ~~~(*) \end{eqnarray*}$

in (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4y^2+2y^2-3y^2 & = & 2y+12 \\ 7y^2-2y-12 & = & 0 \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm\sqrt{4+336}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm\sqrt{340}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm2\sqrt{85}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{1\pm\sqrt{85}}{7} \end{eqnarray*}$

in (*):

$\begin{equation*} x_{1,2} = \frac{2\pm2\sqrt{85}}{7} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(\frac{2+2\sqrt{85}}{7},\frac{1+\sqrt{85}}{7}\right),\left(\frac{2-2\sqrt{85}}{7},\frac{1-\sqrt{85}}{7}\right)\right\} \end{equation*}$

435c – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} \sqrt{a-5} + \sqrt{b+2} & = & 5 \\ \sqrt{a+b} & = & 4 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} \sqrt{a-5} + \sqrt{b+2} & = & 5 \\ \sqrt{a+b} & = & 4 \end{array} \right| \begin{array}{c} ^{\wedge}2 \\ ^{\wedge}2 \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} a-5 + 2\sqrt{(a-5)(b+2)} + b + 2 & = & 25 \\ a + b & = & 16 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (*) \end{array} \end{align*}$

(2) in (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 16 - 5 + 2\sqrt{(a-5)(b+2)} + 2 & = & 25 \\ 2\sqrt{(a-5)(b+2)} & = & 12 \\ \sqrt{(a-5)(b+2)} & = & 6 ~~~\mid ~^{\wedge}2 \\ (a-5)(b+2) & = & 36 \end{eqnarray*}$

Zusammen mit (*) ergibt das

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} (a-5)(b+2) & = & 36 \\ a + b & = & 16 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (**) \end{array} \end{align*}$

Einsetzmethode: (2) nach $a$ auflösen und in (1) einsetzen

$\begin{eqnarray*} (16-b-5)(b+2) & = & 36 \\ (11-b)(b+2) & = & 36 \\ 11b+22-b^2-2b & = & 36 \\ b^2-9b+14 & = & 0 \\ (b-2)(b-7) & = & 0 \\ b_1 & = & 2 \\ b_2 & = & 7 \end{eqnarray*}$

in (**) einsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} a_1 & = & 14 \\ a_2 & = & 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(14,2\right),\left(9,7\right)\right\} \end{equation*}$

434e – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} s^2-st-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s^2-st-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (*) \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t)-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

(2) in (1):

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s\cdot 7 - t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

Einsetzmethode: (2) nach $s$ auflösen und in (1) einsetzen

$\begin{eqnarray*} (7+t)\cdot 7 - t^2 & = & 19 \\ 49 + 7t - t^2 - 19 & = & 0 \\ t^2 - 7t - 30 & = & 0 \\ t_{1,2} & = & \frac{7\pm\sqrt{49+120}}{2} \\ t_1 & = & \frac{7+13}{2} = 10 \\ t_2 & = & \frac{7-13}{2} = -3 \end{eqnarray*}$

in (*):

$\begin{eqnarray*} s_1 & = & 17 \\ s_2 & = & 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(17,10\right),\left(4,-3\right)\right\} \end{equation*}$

Gerade und ungerade Funktionen

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für eine gerade Funktion gilt $\mathcolor{red}{f(x)=f(-x)}$ und für eine ungerade Funktion gilt $\mathcolor{blue}{f(x)=-f(-x)}$ , was aus den Graphen unten ersichtlich ist.

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Werden zwei oder mehr gerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls gerade:

$\begin{equation*} \mathcolor{red}{f(x)} = \mathcolor{red}{y} = \mathcolor{red}{y_1} + \mathcolor{red}{y_2} + ... + \mathcolor{red}{y_n} \end{equation*}$

Werden zwei oder mehr ungerade Funktionen aufsummiert, ist die resultierende Funktion ebenfalls ungerade:

$\begin{equation*} \mathcolor{blue}{f(x)} = \mathcolor{blue}{y} = \mathcolor{blue}{y_1} + \mathcolor{blue}{y_2} + ... + \mathcolor{blue}{y_n} \end{equation*}$

Werden allerdings gerade und ungerade Funktionen addiert, ist die resultierende Funktion weder gerade noch ungerade.

Anwendung auf Polynomfunktionen

Die Grundform einer Polynomfunktion n-ten Grades sieht folgendermassen aus:

$\begin{equation*} f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \end{equation*}$

Jeder Summand $a_i x^i$ für $0\leq i \leq n$ ist eine Potenzfunktion $f_i(x) = a_i x^i$ . Die Polynomfunktion ist also eine Summe von Potenzfunktionen.

$\begin{equation*} f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = \sum_{i=0}^n f_i(x) \end{equation*}$

Ist der Exponent $i$ gerade, so ist die Potenzfunktion $f_i(x) = a_i x^i$ gerade, also $f_i(x) = f_i(-x)$ . Ist der Exponent ungerade, so ist die Potenzfunktion ungerade.
Für $f_i(x) = y_i$ können wir also die Polynomfunktion als Summe von geraden und ungeraden Potenzfunktionen aufschreiben:

$\begin{equation*} f(x) = y = \sum_{i=0}^n f_i(x) = \sum_{i=0}^n y_i \end{equation*}$

Tauchen in der Summe nur gerade Potenzfunktionen auf, wird die resultierende Polynomfunktion gerade sein. Werden lauter ungerader Potenzfunktionen aufsummiert, ist die resultierende Polynomfunktion ebenfalls ungerade.

Zusammengefasst kann gesagt werden, dass eine Polynomfunktion gerade ist, wenn die Exponenten in den einzelnen Summanden alle gerade sind. Sind alle Exponenten ungerade, wird die Polynomfunktion ebenfalls ungerade sein.

Zum Abschluss sei hier vermerkt, dass die Zahl 0 gerade ist.

Die Wurzel ziehen beim Lösen einer Gleichung

Die Wurzel einer Zahl ist per Definition positiv. Zieht man die Wurzel von 25, ist das Resultat also 5, obwohl (-5) im Quadrat ebenfalls 25 ergibt. Allgemein lässt sich das so aufschreiben:

$\begin{equation*} \sqrt{x^2}=\left|x\right| \end{equation*}$

Die Gleichung $x^2=16$ lässt sich durch das Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 16 \mid \sqrt{\cdot} \\ \sqrt{x^2} & = & \sqrt{16} \\ \left|x\right| & = & 4 \end{eqnarray*}$

Bei der letzten Gleichung haben wir es mit einer Betragsgleichung zu tun. Betragsgleichungen können wir durch Fallunterscheidung lösen:
Fall 1: $x\geq 0$

$\begin{equation*} x_1 = 4 \end{equation*}$

Fall 2: $x<0$

$\begin{eqnarray*} -x & = & 4 \\ x_2 & = & -4 \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-4, 4\right\}$ . D. h., die negative Lösung muss berücksichtigt werden, denn sie erfüllt wie die positive Lösung die Gleichung.
Zusammengefasst kann gesagt werden, dass beim Ziehen der Wurzel links und rechts einer Gleichung sowohl die positive als auch die negative Lösung angegeben werden müssen:

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 16 \mid \sqrt{\cdot} \\ x_{1,2} & = & \pm 4 \end{eqnarray*}$