Algebra – Seite 2 – Mathe Solutions

439a – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} s^2 - st & = & 20 \\ t^2 - st & = & -5 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s^2 - st & = & 20 \\ t^2 - st & = & -5 \end{array} \right| \begin{array}{c} (*) \\ ~ \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t) & = & 20 \\ t(t-s) & = & -5 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \cdot(-1) \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t) & = & 20 \\ t(s-t) & = & 5 \end{array} \right| \end{align*}$

Die Gleichung (1) durch die Gleichung (2) teilen:

$\begin{eqnarray*} \frac{s}{t} & = & 4 \\ s & = & 4t ~~~(**) \end{eqnarray*}$

in (*) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 16t^2-4t^2 & = & 20 \\ 12t^2 & = & 20 \\ t^2 & = & \frac{5}{3} \\ t_{1,2} & = & \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$

in (**) einsetzen:

$\begin{equation*} s_{1,2} = \pm 4\sqrt{\frac{5}{3}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(4\sqrt{\frac{5}{3}},\sqrt{\frac{5}{3}}\right),\left(-4\sqrt{\frac{5}{3}},-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\right\} \end{equation*}$

438a – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} 2x^2+xy-3y^2 & = & x + 12 \\ x^2-4xy+4y^2 & = & 0 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} 2x^2+xy-3y^2 & = & x + 12 \\ x^2-4xy+4y^2 & = & 0 \end{array} \right| \end{align*}$

Die linke Seite der Gleichung (2) lässt sich mit Hilfe der 2. binomischen Formel faktorisieren:

$\begin{eqnarray*} (x-2y)^2 & = & 0 ~~~~\mid \sqrt{\cdot} \\ x-2y & = & 0 \\ x & = & 2y ~~~(*) \end{eqnarray*}$

in (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 4y^2+2y^2-3y^2 & = & 2y+12 \\ 7y^2-2y-12 & = & 0 \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm\sqrt{4+336}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm\sqrt{340}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{2\pm2\sqrt{85}}{14} \\ y_{1,2} & = & \frac{1\pm\sqrt{85}}{7} \end{eqnarray*}$

in (*):

$\begin{equation*} x_{1,2} = \frac{2\pm2\sqrt{85}}{7} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(\frac{2+2\sqrt{85}}{7},\frac{1+\sqrt{85}}{7}\right),\left(\frac{2-2\sqrt{85}}{7},\frac{1-\sqrt{85}}{7}\right)\right\} \end{equation*}$

435c – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} \sqrt{a-5} + \sqrt{b+2} & = & 5 \\ \sqrt{a+b} & = & 4 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} \sqrt{a-5} + \sqrt{b+2} & = & 5 \\ \sqrt{a+b} & = & 4 \end{array} \right| \begin{array}{c} ^{\wedge}2 \\ ^{\wedge}2 \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} a-5 + 2\sqrt{(a-5)(b+2)} + b + 2 & = & 25 \\ a + b & = & 16 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (*) \end{array} \end{align*}$

(2) in (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 16 - 5 + 2\sqrt{(a-5)(b+2)} + 2 & = & 25 \\ 2\sqrt{(a-5)(b+2)} & = & 12 \\ \sqrt{(a-5)(b+2)} & = & 6 ~~~\mid ~^{\wedge}2 \\ (a-5)(b+2) & = & 36 \end{eqnarray*}$

Zusammen mit (*) ergibt das

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} (a-5)(b+2) & = & 36 \\ a + b & = & 16 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (**) \end{array} \end{align*}$

Einsetzmethode: (2) nach $a$ auflösen und in (1) einsetzen

$\begin{eqnarray*} (16-b-5)(b+2) & = & 36 \\ (11-b)(b+2) & = & 36 \\ 11b+22-b^2-2b & = & 36 \\ b^2-9b+14 & = & 0 \\ (b-2)(b-7) & = & 0 \\ b_1 & = & 2 \\ b_2 & = & 7 \end{eqnarray*}$

in (**) einsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} a_1 & = & 14 \\ a_2 & = & 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(14,2\right),\left(9,7\right)\right\} \end{equation*}$

434e – FW Algebra

$\begin{align*} \left| \begin{array}{rcl} s^2-st-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

Lösung

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s^2-st-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ (*) \end{array} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s(s-t)-t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

(2) in (1):

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} s\cdot 7 - t^2 & = & 19 \\ s-t & = & 7 \end{array} \right| \end{align*}$

Einsetzmethode: (2) nach $s$ auflösen und in (1) einsetzen

$\begin{eqnarray*} (7+t)\cdot 7 - t^2 & = & 19 \\ 49 + 7t - t^2 - 19 & = & 0 \\ t^2 - 7t - 30 & = & 0 \\ t_{1,2} & = & \frac{7\pm\sqrt{49+120}}{2} \\ t_1 & = & \frac{7+13}{2} = 10 \\ t_2 & = & \frac{7-13}{2} = -3 \end{eqnarray*}$

in (*):

$\begin{eqnarray*} s_1 & = & 17 \\ s_2 & = & 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \mathbb{L}=\left\{\left(17,10\right),\left(4,-3\right)\right\} \end{equation*}$

Die Wurzel ziehen beim Lösen einer Gleichung

Die Wurzel einer Zahl ist per Definition positiv. Zieht man die Wurzel von 25, ist das Resultat also 5, obwohl (-5) im Quadrat ebenfalls 25 ergibt. Allgemein lässt sich das so aufschreiben:

$\begin{equation*} \sqrt{x^2}=\left|x\right| \end{equation*}$

Die Gleichung $x^2=16$ lässt sich durch das Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 16 \mid \sqrt{\cdot} \\ \sqrt{x^2} & = & \sqrt{16} \\ \left|x\right| & = & 4 \end{eqnarray*}$

Bei der letzten Gleichung haben wir es mit einer Betragsgleichung zu tun. Betragsgleichungen können wir durch Fallunterscheidung lösen:
Fall 1: $x\geq 0$

$\begin{equation*} x_1 = 4 \end{equation*}$

Fall 2: $x<0$

$\begin{eqnarray*} -x & = & 4 \\ x_2 & = & -4 \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-4, 4\right\}$ . D. h., die negative Lösung muss berücksichtigt werden, denn sie erfüllt wie die positive Lösung die Gleichung.
Zusammengefasst kann gesagt werden, dass beim Ziehen der Wurzel links und rechts einer Gleichung sowohl die positive als auch die negative Lösung angegeben werden müssen:

$\begin{eqnarray*} x^2 & = & 16 \mid \sqrt{\cdot} \\ x_{1,2} & = & \pm 4 \end{eqnarray*}$

326c – FW Algebra

$\begin{equation*} \frac{3x+4}{x-5}-\frac{x-9}{x-7}=\frac{2x^2-13x+27}{x^2-12x+35} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{(3x+4)(x-7)-(x-9)(x-5)}{(x-5)(x-7)} & = & \frac{2x^2-13x+27}{(x-5)(x-7)} \\ 3x^2-21x+4x-28-\left(x^2-5x-9x+45\right) & = & 2x^2-13x+27 \\ 2x^2-3x-73 & = & 2x^2-13x+27 \\ 10x & = & 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{equation*} \underline{\underline{x=10}} \end{equation*}$

Potenzen mit beliebigen rationalen Exponenten

Für $a\in \mathbb{R}^+$ und $n\in \mathbb{N}$ mit $n>1$ versteht man unter der Potenz $a^n$ die Multiplikation von $a$ $n$ -mal mit sich selbst, also

$\begin{equation*} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{~Faktoren}} \end{equation*}$

$a$ ist die Basis, $n$ ist der Exponent der Potenz $a^n$ .

Die Potenzgesetze

Das folgende Beispiel zeigt die Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis:

$\begin{equation*} a^3\cdot a^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3+2}=a^5 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel erkennt man ein erstes Potenzgesetz

(1) $\begin{equation*} a^m\cdot a^n=a^{m+n} \end{equation*}$

Im nächsten Beispiel berechnen wir die Potenz einer Potenz:

$\begin{equation*} \left(a^3\right)^2=\left(a\cdot a\cdot a\right)\cdot \left(a\cdot a\cdot a\right)=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{3\cdot 2}=a^6 \end{equation*}$

Aus dem Beispiel ist ein zweites Potenzgesetz ersichtlich

(2) $\begin{equation*} \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \end{equation*}$

Bedeutung für $n=1$

Es stellt sich zunächst die Frage, was $a^1$ bedeuten soll, da für eine Multiplikation mindestens zwei Faktoren benötigt werden. Wir gehen vom Potenzgesetz (1) aus, der auch für den Exponenten $n=1$ gelten soll:

$\begin{equation*} a^1\cdot a^1=a^{1+1}=a^2=a\cdot a \end{equation*}$

Daraus schliessen wir, dass $a^1=a$ sein muss.

Bedeutung für $n=0$

Für den Exponenten $n=0$ soll das Potenzgesetz (1) auch gültig sein, so dass wir folgende Termumformungen vornehmen können.

$\begin{equation*} a^0\cdot a=a^0\cdot a^1=a^{0+1}=a^1=a \end{equation*}$

Daraus folgt, dass $a^0=1$ sein muss.

Bedeutung für $-n$

Es sei $n\in \mathbb{N}$ . Wie soll man eine Potenz mit negativem Exponenten deuten, also $a^{-n}$ ? Nun, auch hier soll das Potenzgesetz (1) gültig sein, was auf folgende Umformungen führt:

$\begin{equation*} a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1 \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $a^{-n}\cdot a^n=1$ nach $a^{-n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch $a^n$ teilt, erhält man

$\begin{equation*} a^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{equation*}$

was auf $a^{-n}=1/a^n$ führt.

Bedeutung für $1/n$

Nun soll der Exponent eine rationale Zahl sein. Das Potenzgesetz (2) soll auch für die Potenz $a^{1/n}$ gelten:

$\begin{equation*} \left(a^{1/n}\right)^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a \end{equation*}$

Wenn man die Gleichung $\left(a^{1/n}\right)^n=a$ nach $a^{1/n}$ auflöst, indem man auf beiden Seiten der Gleichung die $n$ -te Wurzel zieht, erhält man die Deutung

$\begin{equation*} a^{1/n}=\sqrt[n]{a} \end{equation*}$

Potenz für beliebige rationale Exponenten

Als allgemeinen Fall für beliebige rationale Exponenten nehmen wir die Potenz $a^{m/n}$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ , $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \mathbb{Z}$ . Hier soll wieder das Potenzgesetz (2) gelten.

$\begin{equation*} a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^m=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m \end{equation*}$

Das führt zu $a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}}\right)^m$ .

Schwierigkeit mit $0^0$

Geht man von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 0^1, & 0^{1/2}, & 0^{1/3}, & 0^{1/4}, & 0^{1/5}, & 0^{1/6}, & 0^{1/7}, & \cdots \\ 0, & \sqrt{0}, & \sqrt[3]{0}, & \sqrt[4]{0}, & \sqrt[5]{0}, & \sqrt[6]{0}, & \sqrt[7]{0}, & \cdots \\ 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, würde man $0^0=0$ definieren.
Geht man allerdings von der Folge

$\begin{equation*} \begin{matrix} 1^0, & \left({1/2}\right)^0, & \left({1/3}\right)^0, & \left({1/4}\right)^0, & \left({1/5}\right)^0, & \left({1/6}\right)^0, & \cdots \\ 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & 1, & \cdots \end{matrix} \end{equation*}$

aus, ergibt sich die Definition $0^0=1$ .

Negative Basis

Es soll zum Abschluss der Fall $\left(-1\right)^2=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)$ behandelt werden. Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} \left(10-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(10+\left(-1\right)\right)^2 & = & 81 \\ 10^2+2\cdot10\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ 80+\left(-1\right)^2 & = & 81 \\ \left(-1\right)^2 & = & 1 \end{eqnarray*}$

Es folgt also, dass $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ ist. Damit ist die Frage beantwortet, wieso «Minus mal Minus» «Plus» ergibt.

1c – FW Algebra

Verwandeln Sie in eine gekürzte Bruchzahl.

$\begin{equation*} 1.\overline{756} \end{equation*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

Die Standard-Toleranz der Funktion approxFraction(5.E-14) sollte vergrössert werden, um ein vernünftiges Resultat zu bekommen, da der Eingabewert gerundet wird. Im Beispiel oben wurde der Eingabewert bei der zehnten Nachkommastelle abgeschnitten und eine Toleranz von 0.001 gewählt.

8d – FW Algebra

$\begin{equation*} T\!\left(r;s;t\right)=\frac{5rs+4s^2}{r+s+t^2} \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} T\!\left(2;3;4) & = & ? \\ T\!\left(5;-2;-3) & = & ? \end{eqnarray*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

8b – FW Algebra

$\begin{equation*} T\!\left(x\right)=\frac{2x^3-4x}{\left(x-2\right)^2} \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} T\!\left(-1\right) & = & ? \\ T\!\left(0\right) & = & ? \\ T\!\left(2\right) & = & ? \end{eqnarray*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

$T\!\left(2\right)=\infty$ ist folgendermassen zu interpretieren:

$\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 2} T\!\left(x\right) = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x^3-4x}{\left(x-2\right)^2} \rightarrow \infty$ \end{equation*}$