Jose Osuna

1c – FW Algebra

Verwandeln Sie in eine gekürzte Bruchzahl.

$\begin{equation*} 1.\overline{756} \end{equation*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

Die Standard-Toleranz der Funktion approxFraction(5.E-14) sollte vergrössert werden, um ein vernünftiges Resultat zu bekommen, da der Eingabewert gerundet wird. Im Beispiel oben wurde der Eingabewert bei der zehnten Nachkommastelle abgeschnitten und eine Toleranz von 0.001 gewählt.

8d – FW Algebra

$\begin{equation*} T\!\left(r;s;t\right)=\frac{5rs+4s^2}{r+s+t^2} \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} T\!\left(2;3;4) & = & ? \\ T\!\left(5;-2;-3) & = & ? \end{eqnarray*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

8b – FW Algebra

$\begin{equation*} T\!\left(x\right)=\frac{2x^3-4x}{\left(x-2\right)^2} \end{equation*}$

$\begin{eqnarray*} T\!\left(-1\right) & = & ? \\ T\!\left(0\right) & = & ? \\ T\!\left(2\right) & = & ? \end{eqnarray*}$

Lösung mit dem TI-Nspire

$T\!\left(2\right)=\infty$ ist folgendermassen zu interpretieren:

$\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 2} T\!\left(x\right) = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2x^3-4x}{\left(x-2\right)^2} \rightarrow \infty$ \end{equation*}$

329c – FW Algebra

$\begin{equation*} \frac{v^2}{v-2}=3-\frac{4}{2-v} \end{equation*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{v^2}{v-2} & = & 3+\frac{4}{v-2} \\ \frac{v^2}{v-2} & = & \frac{3\left(v-2\right)+4}{v-2} \mid \cdot\left(v-2\right) \\ v^2 & = & 3v-6+4 \\ v^2-3v+2 & = & 0 \\ \left(v-1\right)\left(v-2\rigt) & = & 0 \\ \underline{\underline{v_1=1}}, \left[v_2=2\right] & & \end{eqnarray*}$

Die dritte Wurzel im Kopf ziehen

Im letzten Mai machte mich ein Schüler auf das folgende YouTube Video aufmerksam: How To Calculate Cube Roots INSTANTLY! (in Englisch, Dauer: 12:09)

Die Frage war, ob die im Video vorgestellte Methode immer funktioniert, und weshalb.

Nun, es geht darum, im Kopf die dritte Wurzel einer Zahl zu ziehen. Das Resultat ist jeweils eine zweiziffrige Zahl. Machen wir gleich ein Beispiel:

Es soll die dritte Wurzel von 39304 gezogen werden, also $\sqrt[3]{39304}$ , was als Resultat die zweiziffrige Zahl 34 ergibt, da $34^3=34 \cdot 34 \cdot 34=39304$ ist.

Die im Video vorgestellte Methode basiert auf folgende zwei Zeilen, wobei die erste die Auflistung der Ziffern 0 bis 9 darstellt, und die zweite Zeile deren Kubikzahlen angibt.

$\begin{equation*} \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 8 & 27 & 64 & 125 & 216 & 343 & 512 & 729 \end{matrix} \end{equation*}$

Die Kubikzahlen in der zweiten Zeile sollte man auswendig lernen. Um die dritte Wurzel von 39304 zu ziehen, schaut man sich die Tausender an, also in unserem Beispiel die Zahl 39. Es gilt

$\begin{equation*} \begin{matrix} 27 & < & 39 & < & 64 \\ \mathcolor{blue}{3}^3 & < & 39 & < & \mathcolor{red}{4}^3 \end{matrix} \end{equation*}$

Demzufolge ist die gesuchte dritte Wurzel eine Zahl zwischen $\mathcolor{blue}{3}0$ und $\mathcolor{red}{4}0$ .

Im zweiten Schritt vergleicht man die Endziffer von 39304 mit den Endziffern der obigen Kubikzahlen. Da die 4 bei der 64 auftaucht, ist die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel die Zahl unmittelbar über der 64, im Beispiel also die 4.

Machen wir noch ein Beispiel: $\sqrt[3]{185193}=?$

Hier ist

$\begin{equation*} \begin{matrix} 125 & < & 185 & < 216 \\ \mathcolor{blue}{5}^3 & < & 185 & < \mathcolor{red}{6}^3 \end{matrix} \end{equation*}$

Die gesuchte dritte Wurzel ist also eine Zahl zwischen $\mathcolor{blue}{5}0$ und $\mathcolor{red}{6}0$ .

Da die Endziffer von 185193 eine 3 ist und die 3 als Endziffer von 343 auftaucht, ist die Einerziffer der gesuchten dritten Wurzel eine 7, die Zahl oberhalb der 343. Die gesuchte dritte Wurzel von 185193 ist also 57.

Überlegen Sie nun, weshalb die im Video gezeigte Methode funktioniert. Ich schlüssle es im ersten Kommentar zu diesem Beitrag auf.

Funktionstransformation

Es soll anhand der trigonometrischen Funktionen $\mathcolor{red}{\sin\!\left(\alpha\right)}$ und $\mathcolor{blue}{\cos\!\left(\alpha\right)}$ die Bedeutung von Frequenz (Multiplikation der unabhängigen Variable mit einem Faktor) und Phasenverschiebung (Addition einer Konstanten zur unabhängigen Variablen im Funktionsargument) bei Funktionstransformationen untersucht werden.

Es gilt folgende Phasenverschiebung zwischen Sinus und Cosinus:
$\mathcolor{blue}{\cos\!\left(\alpha\right)}=\mathcolor{red}{\sin\!\left(\alpha+90^{\circ}\right)}$
d. h., die Cosinus-Funktion ist eine um $90^{\circ}$ nach links verschobene Sinus-Funktion.

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Es soll nun die Funktion $\cos\!\left(3\alpha\right)$ als verschobene Sinus-Funktion angegeben werden.

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Die Schwierigkeit ist, die Phasenverschiebung richtig in den Griff zu bekommen. Nachfolgend werden zwei Vorgehensweisen aufgezeigt.

Änderung der Frequenz

Die schwarze Kurve $\cos\!\left(3\alpha\right)$ geht aus der blauen Kurve $\mathcolor{blue}{\cos\!\left(\alpha\right)}$ hervor, indem man die Frequenz auf 3 erhöht, d. h., die unabhängige Variable mit 3 multipliziert. Das machen wir auch auf der rechten Seite der obigen Gleichung, also bei $\mathcolor{red}{\sin\!\left(\alpha+90^{\circ}\right)}$ .

Demzufolge gilt $\cos\!\left(3\alpha\right)=\mathcolor{blue}{\cos\!\left(\boldsymbol{3\cdot\alpha}\right)}=\mathcolor{red}{\sin\!\left(\boldsymbol{3\cdot\alpha}+90^{\circ}\right)}$ .
Hier sei vermerkt, dass bloss die unabhängige Variable und nicht das gesamte Argument mit 3 multipliziert werden muss, d. h., dass überall wo $\mathcolor{red}{\alpha}$ im Argument auftaucht, es durch $\mathcolor{red}{\boldsymbol{3\alpha}}$ ersetzt wird!

Phasenverschiebung

Die schwarze Funktion $\cos\!\left(3\alpha\right)$ ist die um $30^{\circ}$ nach links verschobene rosa Funktion $\mathcolor{magenta}{\sin\!\left(3\alpha\right)}$ .

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Um die Funktion um $30^{\circ}$ nach links zu verschieben, ersetzen wir die unabhängige Variable $\mathcolor{magenta}{\alpha}$ durch $\mathcolor{magenta}{\boldsymbol{\alpha+30^{\circ}}}$ . Es gilt also
$\cos\!\left(3\alpha\right)=\mathcolor{magenta}{\sin\!\left(3\left(\boldsymbol{\alpha+30^{\circ}}\right)\right)}$
was zum gleichen Resultat wie mit der ersten Vorgehensweise führt.

$\cos\!\left(3\alpha\right)=\mathcolor{red}{\sin\!\left(3\alpha+90^{\circ}\right)}=\mathcolor{magenta}{\sin\!\left(3\left(\alpha+30^{\circ}\right)\right)}$

Reihenfolge der Transformationen

Wir untersuchen nun, worauf bei der Reihenfolge der Transformationen geachtet werden muss. Ausschlaggebend ist, dass man sich auf die unabhängige Variable im Argument konzentriert.

Wird der Sinus zuerst um $90^{\circ}$ nach links verschoben und dann die Frequenz erhöht, muss konsequenterweise zuerst jede unabhängige Variable $\mathcolor{red}{\alpha}$ durch $\mathcolor{red}{\boldsymbol{\alpha+90^{\circ}}}$ ersetzt werden und danach jedes $\mathcolor{red}{\alpha}$ durch $\mathcolor{red}{\boldsymbol{3\cdot\alpha}}$ . Das führt auf
$\cos\!\left(3\alpha\right)=\mathcolor{red}{\sin\!\left(3\alpha+90^{\circ}\right)}$ .

Wird der Sinus zuerst in der Frequenz verändert und dann die Phase verschoben, wird zunächst jedes $\mathcolor{magenta}{\alpha}$ durch $\mathcolor{magenta}{\boldsymbol{3\cdot\alpha}}$ ersetzt. Die so entstandene Funktion $\mathcolor{magenta}{\sin\!\left(3\alpha\right)}$ muss nur noch um $30^{\circ}$ (und nicht um $90^{\circ}$ !) nach links verschoben werden. Das rührt daher, dass die ursprüngliche Funktion $\mathcolor{red}{\sin\!\left(\alpha\right)}$ , und demzufolge auch die ursprüngliche Phasenverschiebung, in x-Richtung um den Faktor 3 gestaucht werden. Nach der Substitution von $\mathcolor{magenta}{\alpha}$ durch $\mathcolor{magenta}{\boldsymbol{\alpha+30^{\circ}}}$ erhalten wir
$\cos\!\left(3\alpha\right)=\mathcolor{magenta}{\sin\!\left(3\left(\alpha+30^{\circ}\right)\right)}$ .

Wenn man einen Summenterm im Argumenten der Sinus-Funktion hat, weiss man, dass zuerst die Phase verschoben wurde.
Hat man einen Produktterm im Argumenten der Sinus-Funktion, wurde zuerst die Frequenz verändert. Die noch zu berücksichtigende Phasenverschiebung bezieht sich auf die um den Faktor 3 transformierte Funktion, und die ursprüngliche Phasenverschiebung muss entsprechend skaliert werden, in unserem Beispiel mit dem Faktor $\frac{1}{3}$ .

375c – FW Algebra

$\ln(2t+1)-\ln(t)=1$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \ln\!\left(\frac{2t+1}{t}\right) & = & 1 \mid e^{\wedge} \\ \frac{2t+1}{t} & = & e^1 \\ 2t+1 & = & e\cdot t \\ \left(2-e\right)t & = & -1 \\ t & = & \frac{1}{e-2} \end{eqnarray*}$

374b – FW Algebra

$\lg(u-5)=\lg(u)-\lg(5)$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \lg(u-5) & = & \lg\!\left(\frac{u}{5}\right) \mid 10^{\wedge} \\ u-5 & = & \frac{u}{5} \\ 5u-25 & = & u \\ 4u & = & 25 \\ u & = & 6.25 \end{eqnarray*}$

375a – FW Algebra

$\lg(2a)-\lg(a^2)=0.1$

Lösung

$\begin{eqnarray*} \lg(2)+\lg(a)-2\cdot\lg(a) & = & 0.1 \\ \left(1-2\right)\cdot\lg(a) & = & 0.1-\lg(2) \\ -\lg(a) & = & \lg(10^{0.1})-\lg(2) \\ \lg(a) & = & \lg(2)-\lg(10^{0.1}) \\ \lg(a) & = & \lg\!\left(\frac{2}{10^{0.1}}\right) \mid 10^{\wedge} \\ a & = & \frac{2}{\sqrt[10]{10}} \end{eqnarray*}$