Vektoren – Mathe Solutions

32c – FW Geometrie (Vektorgeometrie)

Sind die folgenden Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig? $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{BC}$

Lösung

Es gilt, dass $\overrightarrow{BC}=2\cdot\left(-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AM}\right)$
Die Gleichung lässt sich umformen zu
$2\cdot\overrightarrow{AP}-2\cdot\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$
womit die Bedingung für die lineare Abhängigkeit der drei gegeben Vektoren erfüllt ist.

Linear abhängige resp. unabhängige Vektoren

Die Vektoren $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \dots, \overrightarrow{a_n}$ sind linear abhängig, wenn sich Koeffizienten $k_i$ finden lassen, so dass die folgende Gleichung mindestens eine nichttriviale Lösung hat:

(1) $\begin{equation*} k_1\cdot \overrightarrow{a_1} + k_2\cdot \overrightarrow{a_2} + \cdots + k_n\cdot \overrightarrow{a_n} = \overrightarrow{0} \end{equation*}$

Die Triviallösung ist, wenn $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ gilt.
Hat Gleichung (1) keine Lösung, spricht man von linear unabhängigen Vektoren.

62 – FW Geometrie (Vektorgeometrie)

Gegeben sind die Punkte A(-3/-4), B(7/1) und C(2/10).
Berechnen Sie den Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Trapez (AB || CD) mit CD = 6 cm bildet. (e_x = e_y = 1 cm)

Lösung

Ges.: D = (x / y)

$\begin{equation*} \overrightarrow{AB} = \binom{7-(-3)}{1-(-4)} = \binom{10}{5} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \overrightarrow{DC} = \binom{2-x}{10-y} \end{equation*}$

Weiter gilt, dass die Länge von $\overrightarrow{DC}$ 6 ist, wobei wir die Einheiten weglassen:

$\begin{equation*} \left| \overrightarrow{DC} \left|^2 = (2-x)^2 + (10-y)^2 = 36 ~~~(*) \end{equation*}$

Da AB || CD, gilt für ein positives $k$ :

$\begin{equation*} \overrightarrow{DC} = k\cdot \overrightarrow{AB} \end{equation*}$

Oder für die einzelnen Komponenten:

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} 2-x & = & k\cdot 10 \\ 10-y & = & k\cdot 5 \end{array} \right| \end{align*}$

Wenn (1) und (2) in (*) eingesetzt werden, ergibt sich die folgende Gleichung für $k$ , die nach dem positiven Wert von $k$ aufgelöst wird:

$\begin{eqnarray*} (10k)^2 + (5k)^2 & = & 36 \\ 125k^2 & = & 36 \\ k & = & \frac{6}{\sqrt{125}} \\ k & = & \frac{6}{5\cdot\sqrt{5}} \\ k & = & \frac{6\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun den Wert von $k$ in (1) und (2) ein, lassen sich die Koordinaten von D berechnen:

$\begin{align*} \begin{array}{c} (1) \\ (2) \end{array} & \left| \begin{array}{rcl} x & = & 2-\frac{60\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \\ y & = & 10-\frac{30\cdot\sqrt{5}}{5 \cdot5} \end{array} \right| \end{align*}$

D = $\left( 2-\frac{12\sqrt{5}}{5} / 10-\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)$