Autor: mathe

Summe der ersten n natürlichen Zahlen

Die Gauss’sche Summenformel lautet:

1 + 2 + 3 + 4 + \dotsb + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2+n}{2}

Herleitung (siehe Wikipedia):

Man schreibt die Zahlen von 1 bis n aufsteigend in eine Zeile. Darunter schreibt man die Zahlen in umgekehrter Reihenfolge.

<br /> \begin{array}{ccccc}<br /> 1& 2 & \ldots & n-1 & n \\<br /> n& n-1 & \ldots & 2 &1 \\ \hline<br /> n+1& n+1 & \ldots & n+1 & n+1<br /> \end{array}<br />

Die Summe der Spalten ergibt jeweils den Wert n+1. Da es n Spalten sind, ist die Summe der Zahlen beider Zeilen gleich n⋅(n+1). Um die Summe der Zahlen einer Zeile zu ermitteln, wird das Ergebnis halbiert, und es ergibt sich die obige Formel:

1 + 2 + 3 + 4 + \dotsb + n = \tfrac12 \cdot n \cdot (n+1)