Schlagwort: komplexe Zahlen

Logarithmus einer negativen Zahl mit dem TI Nspire

An der Berufsmaturitätsschule wird in der Menge der reellen Zahlen gerechnet, also in \mathbb{R}. Der Logarithmus ist in \mathbb{R} nur für x>0 definiert, d. h. für positive Zahlen. Berechnet man mit dem TI Nspire den Logarithmus einer negativen Zahl, führt dies zu einer Fehlermeldung: Der Logarithmus einer negativen Zahl ist in der Menge der komplexen Zahlen, also in \mathbb{C}, definiert. Wechselt man in den Dokumenteneinstellungen des Taschenrechners den Berechnungsmodus von Reell auf Kartesisch, könnte man meinen, dass der TI Nspire den Logarithmus einer negativen Zahl als komplexe Zahl in der kartesischen Darstellung ausgeben würde. Leider produziert der Taschenrechner immer noch den gleichen Bereichsfehler wie oben.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Erst wenn auch der Winkel in den Dokumenteneinstellungen von Grad auf Bogenmass eingestellt wird, erscheint der Logarithmus einer negativen Zahl:
Der TI Nspire rechnet erst dann mit komplexen Zahlen, wenn folgende zwei Einstellungen in den Dokumenteneinstellungen vorgenommen werden:

  1. Winkel muss im Bogenmass stehen
  2. Der Berechnungsmodus muss auf Kartesisch (oder Polar) eingestellt sein


Was ist der Logarithmus einer negativen Zahl?

Eine komplexe Zahl z in Polarform sieht folgendermassen aus:

    \begin{equation*} z=r\cdot e^{i\phi} \end{equation*}

Die Zahl z kann als Punkt auf der x/y-Ebene interpretiert werden, wobei auf der x-Achse der reelle und auf der y-Achse der imaginäre Teil der Zahl z abgetragen wird. r und \phi sind die Polarkoordinaten des Punktes, wobei \phi im Bogenmass angegeben wird. e ist die Eulersche Zahl, und die imaginäre Zahl i ist die Wurzel von -1, also i=\sqrt{-1}.
Wir möchten das Beispiel von oben aufgreifen und den Zehnerlogarithmus von -10 berechnen. Die Zahl -10 liegt in der komplexen Ebene auf der reellen Achse im Abstand 10 links vom Ursprung, und der Winkel ist \pi. Es gilt also

    \begin{equation*} -10=10\cdot e^{i\pi} \end{equation*}

Tatsächlich vereinfacht der TI Nspire den Term 10\cdot e^{i\pi} zur negativen Zahl -10.Wir berechnen nun den Zehnerlogarithmus von -10:

    \begin{eqnarray*} \log_{10}(-10) & = & \log_{10}\left(10\cdot e^{i\pi}\right) \\ & = & \log_{10}(10)+\log_{10}\left(e^{i\pi}\right) \\ & = & 1+i\pi\cdot\log_{10}(e) \\ & = & 1+\pi\cdot\log_{10}(e)\cdot i \end{eqnarray*}

Das ist das Resultat, welches der Taschenrechner ausgegeben hatte.