827b – FW Algebra – Mathe Solutions

Für welche Werte des Parameters $k$ hat die folgende Gleichung mindestens eine Lösung?

$\begin{equation*} 3^x=k\cdot x \end{equation*}$

Lösung

Für Geraden mit negativer Steigung (also für $k<0$ ) ist die Bedingung erfüllt, dass sich die Gerade (rechte Seite des Gleichheitszeichens) und die Exponentialfunktion (linke Seite des Gleichheitszeichens) schneiden. Nachfolgend wird der Fall diskutiert, wie gross die positive Steigung $k$ sein muss, damit die Ursprungsgerade $y=k\cdot x$ tangential zur Exponentialfunktion $3^x$ liegt.

Es wird folgendes Wissen aus der Analysis vorausgesetzt: die Tangente an die Exponentialfunktion $y=3^x$ hat an jeder Stelle $x$ die Steigung

$\begin{equation*} a = \frac{\partial}{\partial x}(3^x) = 3^x \cdot \ln(3) \end{equation*}$

was aus $\frac{\partial}{\partial x}(e^x)=e^x$ und der folgenden Umformung folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(3^x) & = & \frac{\partial}{\partial x}\left(\left[ e^{\ln\left(3\right)}\right]^x\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( e^{\ln\left(3\right)\cdot x}\right) \\ & = & e^{\ln\left(3\right)\cdot x}\cdot \ln(3) \\ & = & 3^x\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}$

Die Tangente an die Exponentialfunktion $y=3^x$ hat also folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y & = & a\cdot x + b \\ & = & 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x + b \end{eqnarray*}$

wobei $x_B$ die $x$ -Koordinate des Berührungspunktes ist.
Wir wissen, dass im Berührungspunkt der Funktionswert der Tangente an der Stelle $x_B$ gleich dem Funktionswert der Exponentialfunktion an der Stelle $x_B$ ist, also

$\begin{eqnarray*} 3^{x_B} & = & a\cdot x_B + b \\ & = & 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B + b \end{eqnarray*}$

Wir möchten, dass die Tangente durch den Ursprung geht, also wird $b=0$ sein, was zu folgender Gleichung führt:

$\begin{equation*} 3^{x_B} = 3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B + 0 \end{equation*}$

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen:

$\begin{equation*} 1 = \ln(3) \cdot x_B \end{equation*}$

Der Berührungspunkt der Tangente durch den Ursprung mit der Exponentialfunktion hat demzufolge die $x$ -Koordinate

$\begin{equation*} x_B = \frac{1}{\ln(3)} \end{equation*}$

Die gesuchte Steigung $k$ ergibt sich aus dem Verhältnis der $y$ -Koordinate zur $x$ -Koordinate des Berührungspunktes:

$\begin{eqnarray*} k & = & \frac{y_B}{x_B} \\ & = & \frac{3^{x_B} \cdot \ln(3) \cdot x_B}{x_B} \\ & = & 3^{\frac{1}{\ln(3)}} \cdot \ln(3) \\ & = & e^{\ln\left(3\right)\cdot \frac{1}{\ln(3)}} \cdot \ln(3) \\ & = & e \cdot \ln(3) \approx 2.9863378208084 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung aus der Aufgabenstellung hat für folgende $k$ mindestens eine Lösung:

$\begin{eqnarray*} k<0 & \vee & e \cdot \ln(3) \leq k \end{eqnarray*}$

Lösungsvariante ohne Analysis

Nachfolgend wird ohne Zuhilfenahme der Analysis das kleinstmögliche, positive $k$ ermittelt, wofür die Gleichung aus der Aufgabenstellung mindestens eine Lösung hat.

Zunächst wird links und rechts der Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus logarithmiert:

$\begin{eqnarray*} 3^x & = & k\cdot x \\ \ln(3^x) & = & \ln(k\cdot x) \\ x\cdot \ln(3) & = & \ln(k)+\ln(x) \end{eqnarray*}$

Die linke Seite der obigen Gleichung kann als Ursprungsgerade mit der Steigung $\ln(3)$ interpretiert werden. Die rechte Seite der Gleichung ist die um die Konstante $c=\ln(k)$ in $y$ -Richtung verschobene Logarithmusfunktion $\ln(x)$ . Ist der Wert von $c=\ln(k)$ zu klein, werden sich die zwei Funktionen $f(x)=\ln(3)\cdot x$ und $g(x)=\ln(k)+\ln(x)$ nicht schneiden. Ist der Wert von $c=\ln(k)$ zu gross, wird es zwei Schnittpunkte geben. Gesucht ist der kleinstmögliche Wert für $k$ , so dass sich $f(x)$ und $g(x)$ gerade noch berühren.
Eine Animation kann unter dem folgenden Link geöffnet werden: GeoGebra Animation
Aus dem Graphen kann vermutet werden, dass im Berührungspunkt, d. h. beim Zusammenfallen der zwei Schnittpunkte, dessen $y$ -Koordinate 1 beträgt. Es würde also $f(x_B)=y_B=1$ gelten und somit

$\begin{eqnarray*} \ln(3) \cdot x_B & = & 1 \\ x_B & = & \frac{1}{\ln(3)} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Aufgabe gelöst, denn dann gilt

$\begin{eqnarray*} x_B\cdot \ln(3) & = & \ln(k)+\ln(x_B) \\ 1 & = & \ln(k)+\ln\left(\frac{1}{\ln(3)}\right) \\ \ln(e)+\ln(\ln(3)) & = & \ln(k) \\ \ln(k) & = & \ln(e\cdot \ln(3)) \\ k & = & e\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}$

Das ist das Resultat, das wir oben schon erhalten haben.

Lösungsvariante mit dem Taschenrechner TI-Nspire

Mein Lehrerkollege M. B. hat mich auf folgende Lösungsidee aufmerksam gemacht:
Die gegebene Gleichung kann nach $k$ aufgelöst werden:

$\begin{eqnarray*} 3^x & = & k\cdot x \\ \frac{3^x}{x} & = & k \end{eqnarray*}$

Gesucht ist das $k$ , so dass sich die Funktionen $h(x)=\frac{3^x}{x}$ und $p(x)=k$ schneiden oder berühren. Das kleinstmögliche, positive $k$ liegt auf der Höhe der Tangente am lokalen Minimum der Funktion $h(x)$ . Die nachfolgende Figur zeigt die numerische Lösung, die mit dem Taschenrechner TI-Nspire ermittelt werden kann.

Lösung

Lösungsvariante ohne Analysis

Lösungsvariante mit dem Taschenrechner TI-Nspire

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